Блок 4.6.3. Множення векторів на число. Скалярний добуток векторів

Добутком ненульового вектора на число $k \neq 0$ називається вектор $\overline{d}$, довжина якого дорівнює добутку довжини вектора на модуль числа $k$, а напрям збігається з напрямом вектора , коли $k > 0$, і протилежний напряму, коли $k < 0$.

Записується так: $\bf \overline{d}=k\overline{a}$ .

З означення добутку вектора на число випливає, що:

$ \mid \overline{d}\mid= \mid k \mid \cdot \mid \overline{a} \mid $
$\overline{d}\uparrow\uparrow\overline{a}$, коли $k > 0$
$\overline{d}\downarrow\uparrow\overline{a}$, коли $k < 0$

Очевидно, що добуток нуль-вектора на число і вектора на число $0$ є нуль-вектором: $k\cdot\overline{0}=0\cdot\overline{a}=\overline{0}$.

Для вектора, заданого координатами, добутком вектора на число $\bf k$ (або добутком числа $k$ на вектор ) називається вектор

$k\overline{a}=\overline{(ka_{1};ka_{2})}$.

Тобто, щоб знайти добуток числа $k$ на вектор $\overline{a}(a_{1};a_{2})$, потрібно кожну координату вектора помножити на дане число $k$.

Якщо помножити вектор на число $1$, отримаємо рівні вектори.

Якщо помножити вектор на число $-1$, отримаємо протилежні вектори.

Властивості множення вектора на число

$k \cdot \overline{a} = \overline{a} \cdot k$
$(km) \cdot \overline{a} = k \cdot ( m \overline{a})$
$k \cdot \overline{0} = 0 \cdot \overline{a} = \overline{0}$
$1 \cdot \overline{a} = \overline{a}$
$(k+m) \cdot \overline{a} = k \overline{a} + m \overline{a}$
$k \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = k \overline{a} + k \overline{b}$

Умова колінеарності векторів на площині

Якщо вектори $ \overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}$ колінеарні і $\overline{a} \neq 0$, то існує таке число $k$, що $\overline{b}=k\overline{a}$.

У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні, і навпаки: якщо у двох векторів відповідні координати пропорційні, то ці вектори колінеарні.

Тобто, для двох колінеарних векторів $\overline{a}(a_{1};a_{2})$ і $\overline{b}{(b_{1};b_{2})}$ виконується рівність $ \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}$

Якщо вектори $\overline{a}(a_{1};a_{2})$ і $\overline{b}{(b_{1};b_{2})}$ колінеарні, причому $\overline{a} \neq 0$, то існує таке число $ k$, що $b_{1}= ka_{1}$ i $b_{2}= ka_{2}$.

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів і позначається $\overline{a}\cdot\overline{b}$.

Тоді, за означенням:

$\overline{a}\cdot\overline{b}= \mid \overline{a} \mid \cdot \mid \overline{b} \mid \cdot\cos\angle(\overline{a};\overline{b})$.

Очевидно, що якщо хоча б один з векторів-множників буде нуль-вектором, то скалярний добуток дорівнюватиме нулю.

Формула для обчислення кута між векторами

Косинус кута між ненульовими векторами $\overline{a}(a_{1};a_{2})$ і $\overline{b}{(b_{1};b_{2})}$ можна обчислити за формулою

$$ \cos \angle \left( {\bar a;\bar b} \right)=\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} \cdot \sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}$$

По косинусу кута між векторами можна знайти цей кут ( за таблицями або за допомогою калькулятора).

Умова перпендикулярності векторів

Вектори $\overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}$ перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток дорівнює нулю.

Наприклад, вектори $\overline{a}(-1; 6)\:і\: \overline{b}(12;2)$ перпендикулярні, оскільки $\overline{a}\cdot\overline{b}=(-1)\cdot12+6\cdot2=0$.

А вектори $\overline{c}(4;-2)\:і \;\overline{d}(1;5)$ не перпендикулярні, оскільки $\overline{c}\cdot\overline{d}=(4)\cdot1+(-2))\cdot5=-6 \neq 0$.

Приклад 1. Знайдіть значення n при якому вектори $\overline{a}$ ( $n$; $-8$ ) і $\overline{b}$ $(–4; –2)$ колінеарні.

Розв’язання

У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні. Тобто, для того, щоб вектори $\overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}$ були колінеарними повинна виконуватись рівність:

$ \frac{n}{-4}=\frac{-8}{-2}$

Скориставшись властивостями пропорції маємо:

$ n=\frac{-8\cdot(-4)}{-2}=-16$.

Відповідь: $n = -16$.

Приклад 2. При якому значенні $x$ вектори $\overline{a}$$(2; –1)$ і $\overline{b}$ ( $3$; $x$ ) перпендикулярні?

Розв’язання

Для знаходження змінної $x$ скористаємося умовою перпендикулярності двох векторів, заданих своїми координатами.

$a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} = 0$

Підставивши в неї відповідні координати, отримаємо:

$2 \cdot 3 + (-1) \cdot x = 0$

$6 – x = 0$

$x = 6$

Відповідь: $6$.

Приклад 3. Знайдіть косинус кута $A$ трикутника з вершинами $A$ ( $1;6$ ), $B$ ( $-2;3$ ), $C$ ( $2;-1$ ).

Розв’язання

Для початку знайдемо координати векторів $\overline{AB}\:і\:\overline{AC}$ та їх модулі.

$\overline{AB}(-3;3); \mid \overline{AB} \mid =\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2$;

$\overline{AC}(1;-7); \mid \overline{AC} \mid =\sqrt{1^2+(-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$.

Знайдемо скалярний добуток векторів $\overline{AB}\:і\:\overline{AC}$ за їх координатами.

$\overline{AB}\cdot\overline{AC}=(-3)\cdot1+(-3)\cdot(-7)=-3+21=18$.

Для знаходження косинуса кута $A$ скористаємося формулою

$ \cos\angle(\overline{a};\overline{b})=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\mid \overline{a} \mid \cdot \mid \overline{b} \mid }$.
$\cos\angle(\overline{AB};\overline{AC})=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}{\mid \overline{AB} \mid \cdot \mid \overline{AC} \mid }=\frac{18}{3\sqrt2\cdot5\sqrt2}=\frac{18}{30}=0,6$

Відповідь: $\cos\angle{A}=0,6$.

А тепер перевір себе, переходь до тесту.