Блок 4.8.4. Паралельне проектування

Для зображення просторових фігур на площині часто використовують паралельне проектування.

Розглянемо цей спосіб зображення фігур. Нехай дано довільну площину \(\alpha\), точку \(F\) і пряму \(l\), яка перетинає площину \(\alpha\). Проведемо через точку \(F\) пряму, яка паралельна \(l\), вона перетинає площину \(\alpha\) в деякій точці \(F_{1}\). Знайдену таким способом точку \(F_{1}\) на­зивають паралельною проекцією точки \(\bf F\) на площину \(\alpha\) в напрямі \(l\). Пряму \(l\) називають проектувальною пря­мою, площину \(\alpha\) – площиною проекцій. 

Описане перетворення фігури \(F\) називають паралельним проектуванням.

Щоб побудувати проекцію будь-якої фігури, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури.

Властивості паралельного проектування (за умови, що відрізки та прямі, які проектуються, не паралельні проектуючий прямій \(l\)):

• проекція відрізка є відрізок
• проекції прямої є пряма
• паралельні відрізки зображаються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої
• відношення довжин відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається, тобто дорівнює відношенню довжин їх проекцій

На цих властивостях грунтується зображення плоских фігур (за умови, що площини цих фігур не паралельні проектуючій прямій)

• Будь-який трикутник (прямокутний, рівнобедрений, правильний) зображується довільним трикутником у зручному розташуванні на рисунку
• Медіана трикутника зображується медіаною, середня лінія трикутника – середньою лінією
• Зображенням кожного паралелограма може бути довільний паралелограм
• Зображенням трапеції є  трапеція
• Зображенням кола є еліпс

Приклад 1. Виберіть три фігури, які можуть бути паралельними проекціями двох паралельних прямих:

А) пряма; Б) точка; В) промінь; Г) дві паралельні прямі; Д) дві точки; Е) відрізок.

Розв’язання

Якщо прямі паралельні проектувальній прямій, то їхньою проекцією будуть дві точки. У випадку, коли прямі не паралельні проек­тувальній прямій, їхніми проекціями будуть дві паралельні прямі або прямі, що збігаються.

Вірні відповіді: А), Г), Д).

А тепер перевір себе, переходь до тесту.