Блок 7.1.2. Лінійні рівняння з параметрами (перетворення)

Приклад 1. Розв’язати рівняння \(a^2x-1=x+a\).

 

Розв’язання

 

Виконавши у рівнянні  \(a^2x-1=x+a\) тотожні перетворення, дістанемо:  \(\left(a^2-1\right)x=a+1\).

   

1)   якщо \(a^2-1\ne0\), \(a\ne1\), то \(x=\frac{a+1}{a^2-1}\), тобто \(x=\frac{a+1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}=\frac{1}{a-1}\);

 

2)   якщо \(a^2-1=0\), то \(a=\pm1\)  і можливі два випадки:

 

якщо \(a = – 1\), то рівняння матиме вигляд \(0x = 0\), тобто коренями рівняння є всі числа;

 

якщо \(a = 1\), то рівняння матиме вигляд \(0x = 2\), така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.

 

Відповідь: При \(a=\pm1\)  \(x=\frac{1}{a-1}\) ; при \(a = – 1\) коренями рівняння є всі числа; при  \(a = 1\) рівняння коренів не має.

 

 

 

Приклад 2. Розв’язати рівняння \(ax – 3 = b\) залежно від параметрів \(a\) і \(b\).

 

Розв’язання

 

Виконавши у рівнянні \(ax – 3 = b\) тотожні перетворення, дістанемо:
\(ax = b+3\).

 

1) якщо \(a\ne0\), то \(x=\frac{b+3}{a}\)  при будь – якому \(b\);

 

2) якщо \(а = 0\), то при \(b = -3\) рівняння набуває вигляду \(0x = 0\), тобто коренями рівняння є всі числа;

 

3) якщо \(a=0\) і \(b\ne-3\), отримаємо \(0x=b+3\ne0\), така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.

 

Відповідь: При \(a\ne0\) і будь – якому \(b\)  \(x=\frac{b+3}{a}\) ; при \(а = 0\) і \(b = -3\) корені рівняння – всі числа; при \(a=0\) і \(b\ne-3\) коренів немає.

 

 

 

 

Приклад 3. Розв’язати рівняння \(\frac{x}{a^2-x^2}+\frac{a+x}{\left(a-x\right)^2}=\frac{x-a+4a^2}{x^3-ax^2-a^2x+a^3}\).

 

Розв’язання 

 

Виконаємо перетворення даного рівняння: \(\frac{x}{\left(a-x\right)\left(a+x\right)}+\frac{a+x}{\left(a-x\right)^2}=\frac{x-a+4a^2}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}\); 

 

Зведемо ліву і праву частину рівняння до спільного знаменника: \(\frac{x\left(a-x\right)}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}+\frac{\left(a+x\right)^2}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}=\frac{x-a+4a^2}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}\);

 

 

\(\frac{xa-x^2+a^2+2xa+x^2}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}=\frac{x-a+4a^2}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}\); \(\frac{xa-x^2+a^2+2xa+x^2-x+a-4a^2}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}=0\); \(\frac{3xa+a-3a^2-x}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}=0\);

 

 

\(\frac{x\left(3a-1\right)+a-3a^2}{\left(a-x\right)^2\left(a+x\right)}=0\) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases}x(3a-1)+a-3a^{2}=0;\\(a-x)^{2}(a+x)\neq0.\end{cases}\)

 

ОДЗ: \(x\ne\pm a\);

 

 \(\left(3a-1\right)x=3a^2-a\)

 

Розв’язок утвореного рівняння залежить від множника біля змінної.

 

Якщо \(a\ne\frac{1}{3}\) , то \(x=\frac{3a^2-a}{3a-1}=\frac{a\left(3a-1\right)}{3a-1}=a\); \(x=a\), що не задовольняє ОДЗ, тобто коренів рівняння не має.

 

Якщо \(a=\frac{1}{3}\), то \(0\cdot x=0\), \(x\) – будь-яке, крім \(\pm\frac{1}{3}\), бо обмеження на змінну веде обмеження на параметр.

 

Відповідь:

 

    1)  коренів немає, якщо \(a\ne\pm\frac{1}{3}\);

   

    2) безліч коренів, крім \(\pm\frac{1}{3}\), якщо \(a=\frac{1}{3}\).

 

 

 

Приклад 4. Розв’язати рівняння: \(\frac{2}{5x-a}=\frac{3}{ax-1}\).

 

Розв’язання

Оскільки рівняння дробово-раціональне, то маємо звернути увагу на те, що  знаменник не може дорівнювати 0.

 

Запишемо ОДЗ: \(5x-a\ne0,\ x\ne\frac{a}{5}\); \(ax-1\ne0,\ x\ne\frac{1}{a}\)/

 

Скористуємось властивістю пропорції:

 

\(2\left(ax-1\right)=3\left(5x-a_{ }\right)\);

 

\(2ax-2=15x-3a\);

 

\(2ax-15x=2-3a\);

 

\(\left(2a-15\right)x=2-3a\);

 

Розв’язки  рівняння залежать від значення множника біля змінної.

 

Якщо \(2a-15\ne0,\ a\ne\frac{15}{2}\), то \(x=\frac{2-3a}{2a-15}\);

 

Якщо \(2a-15=0,\ a=\frac{15}{2}\), то \(0\cdot x=-\frac{41}{2}\) – розв’язку немає;

 

Обмеження на змінну веде на обмеження на параметр, тобто: \(\frac{2-3a}{2a-15}\ne\frac{a}{5}\), \(10-15a\ne2a^2-15a\), \(a^2\ne5\), \(a\ne\pm\sqrt{5}\)  і

 

\(\frac{2-3a}{2a-15}\ne\frac{1}{a}\), \(2a-3a^2\ne2a-15\), \(a^2\ne5\), \(a\ne\pm\sqrt{5}\).

 

Відповідь:1)  \(x=\frac{2-3a}{2a-15}\), якщо \(a\ne\frac{15}{2}\) та \(a\ne\pm\sqrt{5}\); 2) коренів немає, якщо \(a=\frac{15}{2}\).

 

 

 

 

 

А тепер перевір себе. Переходь до тесту.

Прокрутка до верху