Степеневою функцією називається функція виду $$\large y=x^p,$$ де \( p \) – стале дійсне число, а \( х \) (основа) – змінна.
Вид функції буде залежати від того, яким буде число \( p \).
Найпростіші види степеневої функції, які були розглянуті раніше:
Взагалі, можна виділити такі випадки в залежності від значення \( p \):
Розглянемо перший випадок, p – натуральне число (парне або непарне).
Степенева функція з натуральним парним показником, \(n = 2, 4, 6,\) …
Розглянемо степеневу функцію \(y=x^p=x^n\) з натуральним парним показником степеня \(n = 2, 4, 6, … \)
Такий показник також можна записати у вигляді \(n = 2k\), де \(k = 1, 2, 3, …\) – натуральне.
Графік степеневої функції \(y=x^n\) з натуральним парним показником при різних значеннях показника степеня \( n = 2, 4, 6,\) … виглядає так:
Властивості:
Область визначення: \(-\infty<x<+\infty\)
Множина значень: \(0\le y<+\infty\)
Парність: парна, \(у\)(–\(х\)) = \(у\)(\(х\))
Монотонність: при \(х\) < 0 монотонно спадає
при \(х\) ˃ 0 монотонно зростає
Екстремуми: мінімум \(х\) = 0, \(у\) = 0
Опуклість: опукла вниз
Точки перегибів: не має
Точки перетину з осями координат: \(х\) = 0, \(у\) = 0
Обернена функція: при \(n\) = 2, квадратний корінь \(x=\sqrt{y};\ y\ge0\)
при \(n\ne2,\) корінь степеня \(n\): \(x=\sqrt[n]{y};\ y\ge0.\)
Степенева функція з натуральним непарним показником, \(n\) \(= 1, 3, 5,\) ….
Розглянемо степеневу функцію \(y=x^p=x^n\) c натуральним непарним показником степеня \(n\) \(= 1, 3, 5, …\)
Такий показник також можна записати у вигляді \(n\) \(= 2\)\(k\) \(+ 1\), де \(k\) \(= 0, 1, 2, 3, …\) – ціле невід’ємне.
Графік степеневої функції $$y=x^n$$ з натуральним непарним показником при різних значеннях показника
степеня \(n\) \(= 1, 3, 5, …\) виглядає так:
Властивості:
Область визначення: \(-\infty<x<+\infty\)
Множина значень: \(-\infty<y<+\infty\)
Парність: непарна, \(у\)(–\(х\)) = –\(у\)(\(х\))
Монотонність: монотонно зростає
Екстремуми: не має
Опуклість: при \(-\infty<x<0\) опукла вгору,
при \(0<x<\infty\) опукла вниз
Точки перегину: \(х\) \(= 0\), \(у\) \(= 0\)
Точки перетину з осями координат: \(х\) \(= 0\), \(у\) \(= 0\)
Обернена функція:
при \(n\) \(= 1\), функція є оберненою до самої себе: \(х\)\( = \)\(у\)
при \(n\ne1\), оберненою функцією є корінь степені \(n\): \(x=\sqrt[n]{y}\)
Отже, загальні властивості можна об’єднати так:
Властивість | \(n\) – парне натуральне число | \(n\) – непарне натуральне число |
Область визначення | \(\large R\) | \(\large R\) |
Область значень | \( [0; +\infty) \) | \(\large R\) |
Нулі функції | \( x=0\) | \( x=0\) |
Проміжки знакосталості | \(y>0\) на кожному з проміжків
\( (- \infty; 0)\:і\:(0; +\infty) \) |
\(y<0\) на проміжку \( (- \infty; 0)\)
\(y>0\) на проміжку \( (0; + \infty)\) |
Парність | Парна | Непарна |
Зростання/спадання | Спадає на проміжку \( (- \infty; 0)\),
зростає на проміжку \( (0; + \infty)\) |
Зростаюча |
Приклад 1. Дано функцію \(f\left(x\right)=x^{50}.\) Порівняйте \(f\)\((–6,9)\) i \(f\)\(( 6,9)\).
Розв’язання:
За властивістю, функція з парним показником при х < 0 монотонно спадає, при х ˃ 0 монотонно зростає. Значення -6,9 і 6,9 рівні за модулем, отже точки з цими абсцисами знаходяться симетрично по відношенню вісі Оу. Тобто, f(–6,9) = f( 6,9).
Приклад 2. Через які з даних точок проходить графік функції
\(f\left(x\right)=x^4:\) А (2; 16); С (0,5; -0,0625); В (-⅓; 1/81); D (-2; -16).
Розв’язання:
Якщо точка належить графіку функції, то це означає, що її координати задовольняють рівняння цієї функції. Отже, підставляємо координати точок в рівняння:
\(16=2^4;\ 16=16\ -\ A\in f\left(x\right);\)
\(-0,0625=0,5^4;\ -0,0625\ne0,0625\ -\ C\notin f\left(x\right);\)
\(\frac{1}{81}=\left(-\frac{1}{3}\right)^4;\ \frac{1}{81}=\frac{1}{81}\ -\ B\in f\left(x\right);\)
\(-16=\left(-2\right)^4;\ -16\ne16\ -\ D\notin f\left(x\right).\)
А тепер переходь до тесту.