Пробне заняття з англійської мови
Пробне заняття з математики
Пробне заняття з історії України
Пробне заняття з української мови
Пробне заняття з української літератури

Блок 2.8.1. Властивості і графіки степеневих функцій з натуральним показником

Степеневою функцією називається функція виду $$\large y=x^p,$$ де \( p \) – стале дійсне число, а \( х \) (основа) – змінна. 

Вид функції буде залежати від того, яким буде число \( p \)

Найпростіші види степеневої функції, які були розглянуті раніше: 

  • \(y=x,\ p=1\) (графік пряма, що є бісектрисою I і III координатної чверті)
  • \(y=x^2,\ p=2\)

Взагалі, можна виділити такі випадки в залежності від значення \( p \):

  • \( p \) – натуральне число (парне або непарне);
  • \( p \)– ціле число (додатне або від’ємне);
  • \( p \)– неціле число (додатне або від’ємне);
  • \( p \)= 0 (якщо показник степеневої функції  \(y=x^p\) дорівнює нулю, \( р \) = 0, то степенева функція визначена для усіх  \( х\ne 0 \) і є  постійною, \(y=x^p=x^0=1,\ x\ne 0\) ).

Розглянемо перший випадок, p – натуральне число (парне або непарне).

Степенева функція з натуральним парним показником, \(n = 2, 4, 6,\)

Розглянемо степеневу функцію  \(y=x^p=x^n\) з натуральним парним показником степеня \(n = 2, 4, 6, … \) 

Такий показник також можна записати у вигляді \(n = 2k\), де  \(k = 1, 2, 3, …\)  – натуральне.

Графік степеневої функції  \(y=x^n\) з натуральним парним показником при різних значеннях показника степеня \( n = 2, 4, 6,\) … виглядає так:

Властивості:

Область визначення: \(-\infty<x<+\infty\)

Множина  значень:  \(0\le y<+\infty\)

Парність:  парна, \(у\)(–\(х\)) = \(у\)(\(х\))

Монотонність:  при  \(х\) < 0  монотонно спадає

                          при  \(х\) ˃ 0  монотонно зростає

Екстремуми:  мінімум \(х\) = 0, \(у\) = 0 

Опуклість:  опукла вниз

Точки перегибів:  не має

Точки перетину з осями координат:  \(х\) = 0, \(у\) = 0

Обернена функція: при  \(n\) = 2, квадратний корінь   \(x=\sqrt{y};\ y\ge0\)

при \(n\ne2,\) корінь степеня \(n\): \(x=\sqrt[n]{y};\ y\ge0.\)

 

Степенева функція з натуральним непарним показником, \(n\) \(= 1, 3, 5,\) ….

Розглянемо степеневу функцію \(y=x^p=x^n\) c натуральним непарним показником степеня \(n\) \(= 1, 3, 5, …\) 

Такий показник також можна записати у вигляді \(n\) \(= 2\)\(k\) \(+ 1\), де  \(k\) \(= 0, 1, 2, 3, …\)  – ціле невід’ємне.

Графік степеневої функції $$y=x^n$$  з натуральним непарним показником при різних значеннях показника

степеня \(n\) \(= 1, 3, 5, …\) виглядає так:

Властивості:

Область визначення:  \(-\infty<x<+\infty\)

Множина значень:  \(-\infty<y<+\infty\)

Парність:  непарна, \(у\)(–\(х\)) = –\(у\)(\(х\))

Монотонність:  монотонно зростає

Екстремуми:  не має

Опуклість:  при  \(-\infty<x<0\) опукла вгору,

при  \(0<x<\infty\) опукла вниз

Точки перегину:  \(х\) \(= 0\), \(у\) \(= 0\)

Точки перетину з осями координат:  \(х\) \(= 0\), \(у\) \(= 0\)

Обернена функція:

при  \(n\) \(= 1\), функція є оберненою до самої себе:  \(х\)\( = \)\(у\)

при  \(n\ne1\), оберненою функцією є корінь степені  \(n\): \(x=\sqrt[n]{y}\)

 

Отже, загальні властивості можна об’єднати так:

 

Властивість \(n\) – парне натуральне число \(n\) – непарне натуральне число
Область визначення \(\large R\)  \(\large R\)
Область значень \( [0; +\infty) \)  \(\large R\)
Нулі функції \( x=0\) \( x=0\)
Проміжки знакосталості \(y>0\) на кожному з проміжків

\( (- \infty; 0)\:і\:(0; +\infty) \)

\(y<0\) на проміжку \( (- \infty; 0)\)

\(y>0\) на проміжку \( (0; + \infty)\)

Парність Парна Непарна
Зростання/спадання Спадає на проміжку \( (- \infty; 0)\),

зростає на проміжку \( (0; + \infty)\)

Зростаюча

 

Приклад 1. Дано функцію \(f\left(x\right)=x^{50}.\) Порівняйте \(f\)\((–6,9)\) i \(f\)\(( 6,9)\).

Розв’язання: 

За властивістю, функція з парним показником при  х < 0  монотонно спадає, при  х ˃ 0  монотонно зростає. Значення -6,9 і 6,9 рівні за модулем, отже точки з цими абсцисами знаходяться симетрично по відношенню вісі Оу. Тобто, f(–6,9) = f( 6,9).

 

Приклад 2. Через які з даних точок проходить графік функції

\(f\left(x\right)=x^4:\) А (2; 16); С (0,5; -0,0625); В (-⅓; 1/81); D (-2; -16).

Розв’язання:

Якщо точка належить графіку функції, то це означає, що її координати задовольняють рівняння цієї функції. Отже, підставляємо координати точок в рівняння:

\(16=2^4;\ 16=16\ -\ A\in f\left(x\right);\)

\(-0,0625=0,5^4;\ -0,0625\ne0,0625\ -\ C\notin f\left(x\right);\)

\(\frac{1}{81}=\left(-\frac{1}{3}\right)^4;\ \frac{1}{81}=\frac{1}{81}\ -\ B\in f\left(x\right);\)

\(-16=\left(-2\right)^4;\ -16\ne16\ -\ D\notin f\left(x\right).\)

 

А тепер переходь до тесту.

Прокрутка до верху