Блок 2.8.2. Властивості і графіки степеневих функцій з цілим показником

Функція, яку можна задати формулою $$y=x^n,\ n\in Z,$$ називають степеневою функцією із цілим показником.

.

Степенева функція з цілим від’ємним показником \(n = –1, –2, –3, …\)

Розглянемо степеневу функцію \(y = х^р = х^n\) з цілим від’ємним показником степеня \(n = –1, –2, –3, …\)

.

Якщо покласти \(n = –k\), де \(k = 1, 2, 3, …\) – натуральне, то її можна представити у вигляді:

$$y=x^n=x^{-k}=\frac{1}{x^k}.$$

.

Графік степеневої функції \(y=x^n\) з цілим від’ємним показником \(n = –1, –2, –3, …\) виглядає так (різні графіки для парного і непарного значення \(n\)):

Властивості

Непарний показник, \(n = –1, –3, –5, …\)

Область визначення: \(х \ne 0\)

Множина значень: \( у \ne 0\)

Парність: непарна, \(у (–х) = –у (х) \)

Монотонність: монотонно спадає

Екстремуми: не має

Опуклість: при \( х < 0\) опукла вверх;  при \( х > 0\) опукла вниз

Точки перегибу: не має

Точки перетину з осями координат: не має

Обернена функція:

при \(n=-1,\ x=\frac{1}{y}\)
при \( n<-2,\ x=\frac{1}{\sqrt[|x|]{y}}\)

.

Парний показник, \(n = –2, –4, –6, …\)

Область визначення: \(х \ne 0\)

Множина значень: \(у > 0 \)

Парність: непарна, \(у (–х) = –у(х) \)

Монотонність: при \(х < 0\) монотонно зростає;  при \(х > 0\) монотонно спадає

Екстремуми: не має

Опуклість: опукла вниз

Точки перегибу: не має

Точки перетину з осями координат: не має

Обернена функція:

при \( n=-2,\ x=\frac{1}{\sqrt{y}}\)

при \(n<-2,\ x=\frac{1}{\sqrt[|x|]{y}}\)

.

Розгляньте модель цього графіка: 

.

Властивості функції для обох випадків показника степеня показані в таблиці:

.

А тепер переходь до тесту.