Блок 4.5.3. Рівняння прямої

Рівняння прямої в прямокутній системі координат на площині має вигляд

$$ax+by+c=0$$

де \(a\), \(b\), \(c\) – числа, причому \(a\) і \(b\) одночасно не дорівнюють нулю. 

Пряма, що проходить через початок координат,  задається рівнянням

\(y=kx\)

Коефіцієнт \(k\) у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Він дорівнює тангенсу кута між даною прямою і додатною піввіссю \(OX\).

В залежності від значення коефіцієнтів \(a\), \(b\) i \(c\) можна виділити чотири окремі випадки розміщення прямої, що задається відповідним рівнянням, в прямокутній системі координат.

 

1) \(\bf a=0\), \(\bf b \neq 0\)

У цьому випадку рівняння прямої набуває вигляду

\(by+c=0\) або \(y=y_{0}\), де \( y_{0} = – \frac{c}{b} \) – деяке число.

Пряма \(y=y_{0}\) паралельна осі абсцис (мал.) або ж збігається з нею (рівняння осі абсцис має вигляд \(y=0\) ).

 

2) \(\bf a \neq 0\), \(\bf b = 0\)

У такому випадку рівняння прямої набуває вигляду 

\(ax+c=0\), або \(x=x_{0}\), де \(x_{0}= – \frac{c}{a}\)  – деяке число.

Пряма \(x=x_{0}\) паралельна осі ординат (мал.) або збігається з нею (рівняння осі ординат має вигляд \(x = 0\) ).

 

3) \(\bf a \neq 0\), \(\bf b \neq 0\), \(\bf c = 0\)

У цьому випадку рівняння прямої набуває вигляду 

\(ax+by=0\) або \(y=kx\), де \( k = – \frac{a}{b}\) – деяке число.

Пряма, що задається подібним рівнянням, проходить через початок координат.

 

4) \(\bf a \neq 0\), \(\bf b \neq 0\), \(\bf c \neq 0\)

В такому випадку рівняння \(ax+by+c=0\) можна подати у вигляді

\(y = -\frac{a}{b} x – \frac{c}{b}\) або \(y=kx+m\)

(рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом).

 

Рівняння прямої на площині, що проходить через дві точки \(A\) (\(x_{1};y_{1}\)) і \(B\) (\(x_{2};y_{2}\)) має вигляд:

\(x=m\), якщо \(x_{1}=x_{2}=m\);
\(y=n\), якщо \(y_{1}=y_{2}=n\);
$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y{1}}$$ якщо \(x_{1} \neq x_{2}\), \(y_{1} \neq y_{2}\)

 

Приклад 1. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки \(C\) (\( 6;1 \)) і \(D\) (\(-18;-7\))

Розв’язання

Оскільки дані точки мають різні абсциси, то пряма \(CD\) є невертикальною. Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві точки:

$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y{1}}$$

Підставивши координати точок \(C\) i \(D\) в дану формулу одержимо:

\(\frac{x-6}{-18-6} = \frac{y-1}{-7-1}\) або \( \frac{x-6}{-24} = \frac{y-1}{-8}\)

 

Спростимо одержану рівність:

\( –8(x – 6) = –24(у – 1)\);

\(x – 6 = 3у – 3\);

\(x – 3у – 3 = 0\).

 

Отже, шукане рівняння прямої: \(x – 3у – 3 = 0\). Або ж, якщо записати його у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Відповідь: \(x – 3у – 3 = 0\).

 

Приклад 2. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки \(A\) (\( -6;-1 \)) і \(B\) (\(3;2\)).

Розв’язання

Оскільки абсциси точок \(A\) i \(B\) не рівні, пряма \(AB\) не паралельна осі ординат. Можна, як і в попередньому прикладі скористатись рівнянням прямої, що проходить через дві точки. Але в даному розв’язанні буде використано інший спосіб.

Будемо шукати рівняння прямої у вигляді \(y=kx+b\).

Підставивши координати точок \(A\) i \(B\) у рівняння \(y=kx+b\), одержимо наступну систему рівнянь:

 

\(\begin{cases}-1 = 6k + b\\2=3k+b\end{cases}\)

Розв’язком системи буде пара чисел \(k=\frac{1}{3}\), \(b=1\). Таким чином, шукане рівняння має вигляд: \(y = \frac{1}{3} x + 1\)

Відповідь: \(y = \frac{1}{3} x + 1\)

 

Зауваження!

Як ви могли помітити, під час розв’язування завдань на пошук/складання рівняння прямої, відповідь прийнято записувати у вигляді 

\(y=kx+b\) або \(ax+by+c=0\).

 

Приклад 3. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку \(A\) (\( 2;6 \)) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут \(60^{\circ}\).

Розв’язання

Оскільки в умові вказано кут між прямою, рівняння якої потрібно скласти, та додатним напрямом вісі \(OX\), то будемо шукати рівняння прямої у вигляді \(y=kx+b\). Для складання рівняння необхідно знайти значення коефіцієнтів \(k\) i \(b\).

\(k\) – кутовий коефіцієнт прямої, \(k=\) tg\(\alpha\). Звідки \(k=\) tg\(\alpha\)= tg \(60^{\circ}=\sqrt{3} \)

Для того, щоб знайти коефіцієнт \(b\) підставимо знайдений кутовий коефіцієнт прямої та координати точки \(A\) в рівняння \(y=kx+b\).

Одержимо: \(6= 2 \sqrt{3} + b\). Звідси \(b= 6 – 2 \sqrt{3}\).

Складемо шукане рівняння:

\(y=\sqrt{3}x+6-2 \sqrt{3}\) або \(y=\sqrt{3}x +2(3-\sqrt{3})\)

 Відповідь: \(y=\sqrt{3}x +2(3-\sqrt{3})\)

 

 

А тепер перевір себе, переходь до тесту.

Прокрутити вгору