Блок 4.5.3. Рівняння прямої

Рівняння прямої в прямокутній системі координат на площині має вигляд

$$ax+by+c=0$$

де $a$, $b$, $c$ – числа, причому $a$ і $b$ одночасно не дорівнюють нулю.

Пряма, що проходить через початок координат, задається рівнянням

$y=kx$

Коефіцієнт $k$ у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Він дорівнює тангенсу кута між даною прямою і додатною піввіссю $OX$.

В залежності від значення коефіцієнтів $a$, $b$ i $c$ можна виділити чотири окремі випадки розміщення прямої, що задається відповідним рівнянням, в прямокутній системі координат.

1) $\bf a=0$, $\bf b \neq 0$

У цьому випадку рівняння прямої набуває вигляду

$by+c=0$ або $y=y_{0}$, де $ y_{0} = – \frac{c}{b} $ – деяке число.

Пряма $y=y_{0}$ паралельна осі абсцис (мал.) або ж збігається з нею (рівняння осі абсцис має вигляд $y=0$ ).

2) $\bf a \neq 0$, $\bf b = 0$

У такому випадку рівняння прямої набуває вигляду

$ax+c=0$, або $x=x_{0}$, де $x_{0}= – \frac{c}{a}$ – деяке число.

Пряма $x=x_{0}$ паралельна осі ординат (мал.) або збігається з нею (рівняння осі ординат має вигляд $x = 0$ ).

3) $\bf a \neq 0$, $\bf b \neq 0$, $\bf c = 0$

У цьому випадку рівняння прямої набуває вигляду

$ax+by=0$ або $y=kx$, де $ k = – \frac{a}{b}$ – деяке число.

Пряма, що задається подібним рівнянням, проходить через початок координат.

4) $\bf a \neq 0$, $\bf b \neq 0$, $\bf c \neq 0$

В такому випадку рівняння $ax+by+c=0$ можна подати у вигляді

$y = -\frac{a}{b} x – \frac{c}{b}$ або $y=kx+m$

(рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом).

Рівняння прямої на площині, що проходить через дві точки $A$ ($x_{1};y_{1}$) і $B$ ($x_{2};y_{2}$) має вигляд:

$x=m$, якщо $x_{1}=x_{2}=m$;
$y=n$, якщо $y_{1}=y_{2}=n$;
$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y{1}}$$ якщо $x_{1} \neq x_{2}$, $y_{1} \neq y_{2}$

Приклад 1. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки $C$ ($ 6;1 $) і $D$ ($-18;-7$)

Розв’язання

Оскільки дані точки мають різні абсциси, то пряма $CD$ є невертикальною. Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві точки:

$$\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y{1}}$$

Підставивши координати точок $C$ i $D$ в дану формулу одержимо:

$\frac{x-6}{-18-6} = \frac{y-1}{-7-1}$ або $ \frac{x-6}{-24} = \frac{y-1}{-8}$

Спростимо одержану рівність:

$ –8(x – 6) = –24(у – 1)$;

$x – 6 = 3у – 3$;

$x – 3у – 3 = 0$.

Отже, шукане рівняння прямої: $x – 3у – 3 = 0$. Або ж, якщо записати його у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Відповідь: $x – 3у – 3 = 0$.

Приклад 2. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки $A$ ($ -6;-1 $) і $B$ ($3;2$).

Розв’язання

Оскільки абсциси точок $A$ i $B$ не рівні, пряма $AB$ не паралельна осі ординат. Можна, як і в попередньому прикладі скористатись рівнянням прямої, що проходить через дві точки. Але в даному розв’язанні буде використано інший спосіб.

Будемо шукати рівняння прямої у вигляді $y=kx+b$.

Підставивши координати точок $A$ i $B$ у рівняння $y=kx+b$, одержимо наступну систему рівнянь:

$\begin{cases}-1 = 6k + b\\2=3k+b\end{cases}$

Розв’язком системи буде пара чисел $k=\frac{1}{3}$, $b=1$. Таким чином, шукане рівняння має вигляд: $y = \frac{1}{3} x + 1$

Відповідь: $y = \frac{1}{3} x + 1$

Зауваження!

Як ви могли помітити, під час розв’язування завдань на пошук/складання рівняння прямої, відповідь прийнято записувати у вигляді

$y=kx+b$ або $ax+by+c=0$.

Приклад 3. Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку $A$ ($ 2;6 $) і утворює з додатним напрямом осі абсцис кут $60^{\circ}$.

Розв’язання

Оскільки в умові вказано кут між прямою, рівняння якої потрібно скласти, та додатним напрямом вісі $OX$, то будемо шукати рівняння прямої у вигляді $y=kx+b$. Для складання рівняння необхідно знайти значення коефіцієнтів $k$ i $b$.

$k$ – кутовий коефіцієнт прямої, $k=$ tg$\alpha$. Звідки $k=$ tg$\alpha$= tg $60^{\circ}=\sqrt{3} $

Для того, щоб знайти коефіцієнт $b$ підставимо знайдений кутовий коефіцієнт прямої та координати точки $A$ в рівняння $y=kx+b$.

Одержимо: $6= 2 \sqrt{3} + b$. Звідси $b= 6 – 2 \sqrt{3}$.

Складемо шукане рівняння:

$y=\sqrt{3}x+6-2 \sqrt{3}$ або $y=\sqrt{3}x +2(3-\sqrt{3})$

Відповідь: $y=\sqrt{3}x +2(3-\sqrt{3})$

А тепер перевір себе, переходь до тесту.