Блок 4.6.1. Поняття вектора. Координати вектора

Вектором називається напрямлений відрізок.

Тобто, щоб задати вектор, достатньо вказати його початок і кінець.

На малюнку точка \(A\) – початок вектора, точка \(B\) – кінець. 

Вектор зображають у вигляді відрізка зі стрілкою, що вказує на його кінець.  Позначається вектор з початком у точці \(A\) і кінцем в точці \(B\) так: \(\overrightarrow{AB}\) або \(\overrightarrow{BA}\).

Вектори можна позначати і малими латинськими буквами, наприклад, на малюнку це вектор \(\overrightarrow{b}\). 

Під час запису вектора будьте уважні – першою літерою завжди записується початок вектора, а другою – його кінець. Тобто \(\overrightarrow{AB}\:і \overrightarrow{BA}\)  – різні вектори.

 

Вектор, у якого початок і кінець співпадають, називають нульовим вектором (або нуль-вектором) і позначають . Про напрям нуль-вектора не говорять. На рисунках нульовий вектор зображають однією точкою і записують так: \(\bf \overrightarrow{0}\)

 

Довжиною, або модулем (або абсолютною величиною), вектора \(\overrightarrow{AB}\) називають довжину відрізка \(AB\), що зображує вектор (часто кажуть, що це відстань між початком і кінцем вектора).

Модуль вектора  позначають так: \(\bf \mid \overrightarrow{AB} \mid\). Зрозуміло, що \(\mid\overrightarrow{0}\mid=0\).

У випадку, якщо вектор позначають, як \(\overline{a}\) то модуль такого вектора позначають, як \(|\overline{a}|\).

 

Протилежними називають два ненульові вектори, які мають рівні модулі але протилежні напрямки: \(\overline{a} \:і-\overline{a}\).

Вектор, який має довжину 1, називається одиничним вектором. Його позначають так: \( \overline{e}\). За означенням, \( |\overline{e}|=1\).

 

Два ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

На малюнку зображено колінеарні вектори \(\overline{a},\overline{b} \:і \:\overline{MN}\). Той факт, що вектори і колінеарні, позначається так: \(\overline{a}||\overline{b}\).

 

Колінеарні вектори можуть бути співнапрямленими, тобто однаково напрямленими, і позначаються \( \overline{a} \uparrow\uparrow \overline{b}\).

Або вектори можуть бути колінеарними, але протилежно напрямлені. Записують так: \( \overline{a} \uparrow\downarrow \overline{b}\).

Ненульові вектори називаються рівними, якщо вони співнапрямлені і мають однакові модулі. Будь-які два нульові вектори рівні.

На малюнку рівні вектори \(\overline{a}\) і \(\overline{b}\) . Рівність векторів записується так:

\(\overline{a}\) і \(\overline{b}\) і читається : «вектор \(\overline{a}\) дорівнює вектору \(\overline{b}\)».

Якщо ж два вектори мають рівні модулі, але протилежні напрямки, тоді їх називають протилежними векторами.

 

На малюнку вектори \(\overline{c}\) і \(\overline{d}\)  є протилежними векторами. Записується так: \(\bf \overline{с}\) = \(\bf -\overline{d}\).

 

Координатами вектора \(\bf \overline{AB}\) з початком \(A\) (\(x_{1}; y_{1}\)) і кінцем \(B\) (\(x_{2}; y_{2}\)) називають числа \(a_{1}=x_{2}-x_{1}\) і \(a_{2}=y_{2}-y_{1}\).

Інакше кажучи, кожна координата вектора дорівнює різниці відповідних координат його кінця і початку.

Очевидно, що нульовий вектор має нульові координати: (\(0; 0\))

Оскільки довжина (модуль) вектора \(\overline{a}\) (\(a_{1}; a_{2}\)) дорівнює відстані між його початком і кінцем, то її можна обчислити за наступною формулою:

\( \mid \overline{a} \mid =\sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2}\)

 

Важливо:

• рівні вектори мають рівні відповідні координати;
• якщо відповідні координати векторів рівні, то рівні й самі вектори.

 

Приклад 1. Визначте вид чотирикутника \(ABCD\), якщо відомо, що \(\overline{AB}=\overline{DC}\:і\: \mid \overline{AC} \mid = \mid \overline{BD} \mid \).

Розв’язання:

З умови відомо, що \(\overline{AB}=\overline{DC}\). З цього випливає, що \(AB \parallel DC\) i \(AB=DC\). Отже, чотирикутник \(ABCD\) – паралелограм.

Рівність \(\mid \overline{AC} \mid = \mid \overline{BD} \mid \) означає, що діагоналі паралелограма \(ABCD\) рівні. Отже, даний паралелограм є прямокутником.

Відповідь: \(ABCD\) – прямокутник.

 

Приклад 2. \(ABCD\) – квадрат (мал.). Чи рівні вектори  \(\overline{AB}\:і\:\overline{BC}\)? Чи рівні вектори \(\overline{MN}\:і\:\overline{AO}\) (\(M\) i \(N\) – середини сторін \(AB\) i \(BC\))?

Розв’язання

Вектори \(\overline{AB}\:і\:\overline{BC}\) не рівні. Довжини мають однакові, але напрями у них різні. \(MN\) – середня лінія трикутника \(ABC\), тому \(MN \parallel AC\), а це означає, що \(MN \parallel AO\) i \(MN = 0,5AC=AO\).

Отже, вектори \(\overline{MN}\:і\:\overline{AO}\) – співнапрямлені і мають рівні довжини, тому \(\overline{MN}=\overline{AO}\).

 

Приклад 3. Дано координати трьох вершин паралелограма \(ABCD\) : \(A\) (\(3;-2\)), \(B\) (\(-4; 1\)), \(C\) (\(-2; -3\)). Знайдіть координати вершини \(D\).

Розв’язання:

Оскільки чотирикутник \(ABCD\) – паралелограм, то \(\overline{AB}=\overline{DC}\). Отже, координати цих векторів рівні.

Нехай координати точки \(D\) дорівнюють (\(x; y\)). Знайдемо координати векторів \(\overline{AB} \;і\:\overline{DC}\), користуючись формулами знаходження координат вектора.

Отримали: \(\overline{AB} (– 4 – 3; 1–(–2))=\overline{AB} (– 7;3)\); \(\overline{DC} (– 2 – x; -3-y)\)

Звідси:

\(\begin{cases}-7=-2-x,\\3=-3-y;\end{cases}\:\begin{cases}x=5\\y=-6.\end{cases}\)  

Відповідь: \(D\) (\(5; -6\)).

 

Приклад 4. Модуль вектора  (\(x; 8\)) дорівнює \(10\). Знайдіть \(x\).

Розв’язання

За формулою довжини вектора маємо: \(\mid \overline{a} \mid=\sqrt{{a_{1}^2+a_{2}^2} }\).

Підставимо в формулу значення координат вектора та його модуля. Отримаємо: \(10=\sqrt{{x^2+8^2} }\). Звідси \(100 = x^{2}+64\).

\(x^{2} = 100 – 64\);

\(x^{2}=36\)

\(x_{1} = 6\) або \(x_{2} = -6\)

Відповідь: \(x_{1} = 6\) або \(x_{2} = -6\).

 

 

А тепер перевір себе, переходь до тесту.