Блок 4.6.2. Додавання і віднімання векторів

Маємо вектори $\overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}$.

Якщо вектори $\overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}$ відкласти послідовно один за одним (початок вектора $\overrightarrow{b}$ потрапляє в кінець вектора $\overrightarrow{a}$), то вектор суми $\overrightarrow{c}$ з’єднає початок одного вектора з кінцем іншого вектора.

Сума векторів

Вектор $\overrightarrow{c}$ називають сумою векторів. Можна записати:

$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$

Такий прийом додавання векторів називається правилом трикутника.

Правило трикутника можна застосовувати до будь-яких двох векторів, навіть колінеарних. На малюнках можете побачити, як знаходиться сума співнапрямлених і протилежно напрямлених векторів.

І взагалі для будь-яких трьох точок $A$, $B$ i $C$ справджується рівність:

$\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{AC}$

За цим же правилом можна скласти кілька векторів: пристроюємо їх один за іншим, а потім з’єднуємо початок першого з кінцем останнього (правило многокутника):

Із закону додавання векторів випливає, що сума кількох векторів не залежить від того, в якому порядку вони додаються.

Для додавання векторів $\overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}$ можна використовувати ще правило паралелограма.

Для цього потрібно від довільної точки А відкласти вектори-доданки: $\overline{AB}=\overline{a}$ і $\overline{AD}=\overline{b}$. Потім на даних векторах побудувати паралелограм $ABCD$. Тоді сумою векторів і буде вектор, зображення якого співпадає з зображенням діагоналі паралелограма $\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{AD}$:

Різницею векторів $\overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}$ називають такий вектор $\overrightarrow{c}$, який в сумі з $\overline{b}$ дає $\overline{a}$:

$\overline{c}=\overline{a}-\overline{b}$

Віднімання можна виразити через додавання, а саме:

щоб від вектора $\overline{a}$ відняти вектор $\overline{b}$, можна до вектора додати вектор –$\overline{b}$ :

Додавання і віднімання векторів, заданих своїми координатами

Сумою векторів $\overline{a}(a_{1};a_{2})$ і $\overline{b}(b_{1};b_{2})$ називається вектор $\overline{c}(c_{1};c_{2})$ з координатами $c_{1}=a_{1}+b_{1},\:c_{2}=a_{2}+b_{2}$.

Іншими словами, щоб додати два вектори, їх відповідні координати додають.

Різницею векторів $\overline{a}(a_{1};a_{2})$ і $\overline{b}(b_{1};b_{2})$ називається вектор $\overline{c}(c_{1};c_{2})$, який у сумі з вектором $\overline{b}$ дає вектор $\overline{a}$: $$\overline{b}+\overline{c}=\overline{a}$$

Із даного означення можна знайти координати вектора $\overrightarrow{c}$:

$$c_{1}=a_{1}-b_{1},\:c_{2}=a_{2}-b_{2}$$

Приклад 1. На сторонах паралелограма $ABMC$ задано вектори $\overline{AB}$ і $\overline{AC}$. Виразити діагоналі паралелограма через дані вектори.

Розв’язання:

а) у паралелограмі $ABMC$ проведемо діагональ $AM$. Вектор $\overline{AM}$ дорівнює сумі векторів $\overline{AB}$ і $\overline{AC}$ за правилом паралелограма. Отже, $\overline{AM }=\overline{AB}+\overline{AC}$.

б) у паралелограмі $ABMC$ проведемо діагональ $CB$. Вектор $\overline{CB}$дорівнює різниці векторів $\overline{AB}$ і $\overline{AC}$ за означенням. Отже, $\overline{CB }=\overline{AB}-\overline{AC}$.

Відповідь: $\overline{AM}=\overline{AB}+\overline{AC}$, $\overline{CB}=\overline{AB}-\overline{AC}$.

Приклад 2. Дано вектори $\overline{a}$ $ (4; 7) $ і $\overline{b}$ $ (–2; 9) $. Знайдіть координати вектора, такого, що $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$.

Розв’язання

За означенням суми векторів випливає, що якщо $\overline{c}(c_{1};c_{2})$ – шуканий вектор, то $с_{1} = a_{1} + b_{1}= 4 + (-2) = 2$, $c_{2} = a_{2} + b_{2} = 7 + 9 = 16$.

Отже, шуканий вектор $\overline{c}(1;16)$.

А тепер перевір себе, переходь до тесту.