Блок 4.6.3. Множення векторів на число. Скалярний добуток векторів

Добутком ненульового вектора  на число \(k \neq 0\) називається вектор \(\overline{d}\), довжина якого дорівнює добутку довжини вектора на модуль числа \(k\), а напрям збігається з напрямом вектора , коли \(k > 0\), і протилежний напряму, коли \(k < 0\).

Записується так: \(\bf \overline{d}=k\overline{a}\) .

З означення добутку вектора на число випливає, що:

  • \( \mid \overline{d}\mid= \mid k \mid \cdot \mid \overline{a} \mid \)
  • \(\overline{d}\uparrow\uparrow\overline{a}\), коли \(k > 0\)
  • \(\overline{d}\downarrow\uparrow\overline{a}\), коли  \(k < 0\)

Очевидно, що добуток нуль-вектора на число і вектора на число \(0\) є нуль-вектором: \(k\cdot\overline{0}=0\cdot\overline{a}=\overline{0}\).

Для вектора, заданого координатами, добутком вектора  на число \(\bf k\) (або добутком числа \(k\) на вектор ) називається вектор 

\(k\overline{a}=\overline{(ka_{1};ka_{2})}\).

 

Тобто, щоб знайти добуток числа \(k\) на вектор \(\overline{a}(a_{1};a_{2})\), потрібно кожну координату вектора помножити на дане число \(k\).

 

Якщо помножити вектор на число \(1\),  отримаємо рівні вектори.

Якщо помножити вектор на число \(-1\), отримаємо протилежні вектори.

Властивості множення вектора на число

  • \(k \cdot \overline{a} = \overline{a} \cdot k\)
  • \((km) \cdot \overline{a} = k \cdot ( m \overline{a})\)
  • \(k \cdot \overline{0} = 0 \cdot \overline{a} = \overline{0}\)
  • \(1 \cdot \overline{a} = \overline{a}\)
  • \((k+m) \cdot \overline{a} = k \overline{a} + m \overline{a}\)
  • \(k \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = k \overline{a} + k \overline{b}\)

Умова колінеарності векторів на площині

Якщо вектори \( \overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}\) колінеарні і \(\overline{a} \neq 0\), то існує таке число \(k\), що \(\overline{b}=k\overline{a}\).

У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні, і навпаки: якщо у двох векторів відповідні координати пропорційні, то ці вектори колінеарні.

Тобто, для двох колінеарних векторів \(\overline{a}(a_{1};a_{2})\) і \(\overline{b}{(b_{1};b_{2})}\) виконується рівність \( \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}\)

Якщо вектори \(\overline{a}(a_{1};a_{2})\) і \(\overline{b}{(b_{1};b_{2})}\) колінеарні, причому \(\overline{a} \neq 0\), то існує таке число \( k\), що \(b_{1}= ka_{1}\) i \(b_{2}= ka_{2}\).

 

Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів і позначається \(\overline{a}\cdot\overline{b}\). 

Тоді, за означенням: 

\(\overline{a}\cdot\overline{b}= \mid \overline{a} \mid \cdot \mid \overline{b} \mid \cdot\cos\angle(\overline{a};\overline{b})\).

Очевидно, що якщо хоча б один з векторів-множників буде нуль-вектором, то скалярний добуток дорівнюватиме нулю.

 

Формула для обчислення кута між векторами

Косинус кута між ненульовими векторами \(\overline{a}(a_{1};a_{2})\) і \(\overline{b}{(b_{1};b_{2})}\) можна обчислити за формулою 

$$ \cos \angle \left( {\bar a;\bar b} \right)=\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2}  \cdot \sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}$$

По косинусу кута між векторами можна знайти цей кут ( за таблицями або за допомогою калькулятора).

 

Умова перпендикулярності векторів

Вектори \(\overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}\) перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток дорівнює нулю. 

 

Наприклад, вектори \(\overline{a}(-1; 6)\:і\: \overline{b}(12;2)\) перпендикулярні, оскільки \(\overline{a}\cdot\overline{b}=(-1)\cdot12+6\cdot2=0\).

А вектори \(\overline{c}(4;-2)\:і \;\overline{d}(1;5)\) не перпендикулярні, оскільки \(\overline{c}\cdot\overline{d}=(4)\cdot1+(-2))\cdot5=-6 \neq 0\). 

 

Приклад 1. Знайдіть значення n при якому вектори \(\overline{a}\) ( \(n\); \(-8\) ) і \(\overline{b}\) \((–4; –2)\) колінеарні.

Розв’язання

У колінеарних векторів відповідні координати пропорційні. Тобто, для того, щоб вектори \(\overrightarrow{a}\:i \:\overrightarrow{b}\) були колінеарними повинна виконуватись рівність:

 \( \frac{n}{-4}=\frac{-8}{-2}\)

Скориставшись властивостями пропорції маємо:

\( n=\frac{-8\cdot(-4)}{-2}=-16\).

Відповідь: \(n = -16\).

 

Приклад 2. При якому значенні \(x\) вектори \(\overline{a}\)\((2; –1)\) і \(\overline{b}\) ( \(3\); \(x\) ) перпендикулярні?

Розв’язання

Для знаходження змінної \(x\) скористаємося умовою перпендикулярності двох векторів, заданих своїми координатами.

\(a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} = 0\) 

Підставивши в неї відповідні координати, отримаємо:

\(2 \cdot 3 + (-1) \cdot x = 0\)

\(6 – x = 0\)

\(x = 6\)

Відповідь: \(6\).

 

Приклад 3. Знайдіть косинус кута \(A\) трикутника з вершинами \(A\) ( \(1;6\) ), \(B\) ( \(-2;3\) ), \(C\) ( \(2;-1\) ).

Розв’язання

Для початку знайдемо координати векторів \(\overline{AB}\:і\:\overline{AC}\) та їх модулі.

\(\overline{AB}(-3;3); \mid \overline{AB} \mid =\sqrt{(-3)^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\);

\(\overline{AC}(1;-7); \mid \overline{AC} \mid =\sqrt{1^2+(-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\).

Знайдемо скалярний добуток векторів \(\overline{AB}\:і\:\overline{AC}\) за їх координатами.

\(\overline{AB}\cdot\overline{AC}=(-3)\cdot1+(-3)\cdot(-7)=-3+21=18\).

Для знаходження косинуса кута \(A\) скористаємося формулою

\( \cos\angle(\overline{a};\overline{b})=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{\mid \overline{a} \mid \cdot \mid \overline{b} \mid }\).
\(\cos\angle(\overline{AB};\overline{AC})=\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}{\mid \overline{AB} \mid \cdot \mid \overline{AC} \mid }=\frac{18}{3\sqrt2\cdot5\sqrt2}=\frac{18}{30}=0,6\)

Відповідь: \(\cos\angle{A}=0,6\).

 

 

А тепер перевір себе, переходь до тесту.

Прокрутити вгору