Блок 4.7.1. Рух фігури. Паралельне перенесення

Перетворення однієї фігури в іншу називають переміщенням, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки \(X\) і \(Y\) першої фігури у точки \(X’\) i \(Y’\) другої так що \(XY = X’Y’\).

Фігуру \(F’\) називають образом фігури F для даного перетворення (а фігура \(F\) називається прообразом фігури \(F’\)).

 

Основні властивості переміщення:

  • під час переміщення точки, що лежить на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення
  • під час переміщення прямі переходять в прямі, промені – у промені, відрізки – у відрізки
  • під час переміщення кут переходить у кут, який йому дорівнює.
  • два послідовні переміщення знову дають переміщення
  • перетворення обернене до переміщення, також є переміщенням (Обернене перетворення – перетворення, що переводить фігуру \(F’\) у фігуру \(F\)) 

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться переміщенням одна в одну.

 

Приклад 1. \(ABC\) – рівнобедрений трикутник з основою \(AB\) (мал.). Чи існує переміщення, що переводить: 1) відрізок \(AC\) у відрізок \(BC\); 2) кут \(A\) у кут \(B\)?

Розв’язання:

Оскільки трикутник \(ABC\) – рівнобедрений з основою \(AB\), то \(AC=BC\) і \(\angle A = \angle B\). Тому існує переміщення, що переводить відрізок \(AC\) у відрізок \(BC\), і існує переміщення, що переводить кут \(\angle A\)  у кут \(\angle B\).

 

Приклад 2.  Трикутник \(MNK\) – образ трикутника \(ABC\), отриманий у результаті переміщення. Знайдіть кути трикутника \(ABC\), якщо \(AB=BC\), а найбільший кут трикутника \(MNK\) дорівнює \(100^{\circ}\).

Розв’язання:

Оскільки у трикутнику \(ABC\): \(AB = BC\), то даний трикутник рівнобедрений. З цього випливає, що кути при його основі рівні, тобто \(\angle A = \angle C\) (за властивістю рівнобедреного трикутника).

Оскільки переміщення зберігає довжину відрізків, а кути переводить у рівні їм кути, то трикутник \(MNK\)  – також рівнобедрений з тими ж кутами. Знайшовши градусні міри кутів трикутника \(MNK\), ми знайдемо градусні міри рівного йому трикутника \(ABC\).

Оскільки найбільший кут трикутника \(MNK\) дорівнює \(100^{\circ}\), то очевидно, що це може бути лише кут при вершині трикутника. Нехай, в трикутнику \(ABC\) йому відповідає \(\angle B\). Знайдемо тепер кути при основі трикутника: \(\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\)

Відповідь: \(\angle A=\angle C=40^\circ,\:\angle B=100^\circ\).

 

Рух (переміщення) — це відображення площини на себе, при якому зберігаються відстані між точками.

Види рухів

 

Паралельним перенесенням фігури називається перенесення всіх точок простору на одну відстань в одному напрямі.

Паралельне перенесення визначає вектор, за яким відбувається перенесення.

 

Щоб здійснити паралельне перенесення, потрібно знати напрям і відстань, що означає задати вектор.

Аби при паралельному перенесенні побудувати зображення многокутника, достатньо побудувати зображення вершин цього многокутника.

 

Початкова фігура та фігура, отримана після паралельного перенесення, рівні.

У прямокутній системі координат паралельне перенесення, яке переводить точку \(M\) (\(x;y\)) у точку \(M’\) (\(x’;y’\)), задається формулами

$$x^\prime=x+a$$

$$y^\prime=y+a$$

де \(a\) і \(b\) – деякі числа, одні й ті самі для всіх точок площини.

Приклад 3. При паралельному перенесенні образом точки \(M\) (\(8;6\))  є точка \(T\) (\(3;-7\)). Яка точка є образом точки \(Q\) (\(-1;-9\)) при цьому паралельному перенесенні?

Розв’язання:

Запишемо формули, якими задано паралельне перенесення. Нам відомі координати точки \(M\) і точки \(T\), яка є образом \(M\). Виведемо з них значення \(a\) і \(b\):

\(a=x^\prime -x=3-(-8)=3+8=11\), \(b=y^\prime -y=-7-6=-13 \)

Знайшовши значення \(a\) і \(b\), запишемо формули, які задають паралельне перенесення: \(x^\prime=x+11,\: y^\prime=-y-13 \).

І за допомогою цих формул знайдемо координати точки \(Q’\), в яку перейде точка \(Q’\) при даному паралельному перенесенні:

\(x^\prime=-1+11=10,\: y^\prime=-9-13=-22\).

Отримали точку з координатами (\(10;-22\)).

Відповідь: \(Q’\) (\(10;-22\)).

 

 

А тепер перевір себе, переходь до тесту.

Прокрутити вгору