Блок 4.7.1. Рух фігури. Паралельне перенесення

Перетворення однієї фігури в іншу називають переміщенням, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки $X$ і $Y$ першої фігури у точки $X’$ i $Y’$ другої так що $XY = X’Y’$.

Фігуру $F’$ називають образом фігури F для даного перетворення (а фігура $F$ називається прообразом фігури $F’$).

Основні властивості переміщення:

під час переміщення точки, що лежить на прямій, переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення
під час переміщення прямі переходять в прямі, промені – у промені, відрізки – у відрізки
під час переміщення кут переходить у кут, який йому дорівнює.
два послідовні переміщення знову дають переміщення
перетворення обернене до переміщення, також є переміщенням (Обернене перетворення – перетворення, що переводить фігуру $F’$ у фігуру $F$)

Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться переміщенням одна в одну.

Приклад 1. $ABC$ – рівнобедрений трикутник з основою $AB$ (мал.). Чи існує переміщення, що переводить: 1) відрізок $AC$ у відрізок $BC$; 2) кут $A$ у кут $B$?

Розв’язання:

Оскільки трикутник $ABC$ – рівнобедрений з основою $AB$, то $AC=BC$ і $\angle A = \angle B$. Тому існує переміщення, що переводить відрізок $AC$ у відрізок $BC$, і існує переміщення, що переводить кут $\angle A$ у кут $\angle B$.

Приклад 2. Трикутник $MNK$ – образ трикутника $ABC$, отриманий у результаті переміщення. Знайдіть кути трикутника $ABC$, якщо $AB=BC$, а найбільший кут трикутника $MNK$ дорівнює $100^{\circ}$.

Розв’язання:

Оскільки у трикутнику $ABC$: $AB = BC$, то даний трикутник рівнобедрений. З цього випливає, що кути при його основі рівні, тобто $\angle A = \angle C$ (за властивістю рівнобедреного трикутника).

Оскільки переміщення зберігає довжину відрізків, а кути переводить у рівні їм кути, то трикутник $MNK$ – також рівнобедрений з тими ж кутами. Знайшовши градусні міри кутів трикутника $MNK$, ми знайдемо градусні міри рівного йому трикутника $ABC$.

Оскільки найбільший кут трикутника $MNK$ дорівнює $100^{\circ}$, то очевидно, що це може бути лише кут при вершині трикутника. Нехай, в трикутнику $ABC$ йому відповідає $\angle B$. Знайдемо тепер кути при основі трикутника: $\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ$

Відповідь: $\angle A=\angle C=40^\circ,\:\angle B=100^\circ$.

Рух (переміщення) — це відображення площини на себе, при якому зберігаються відстані між точками.

Види рухів

Паралельним перенесенням фігури називається перенесення всіх точок простору на одну відстань в одному напрямі.

Паралельне перенесення визначає вектор, за яким відбувається перенесення.

Щоб здійснити паралельне перенесення, потрібно знати напрям і відстань, що означає задати вектор.

Аби при паралельному перенесенні побудувати зображення многокутника, достатньо побудувати зображення вершин цього многокутника.

Початкова фігура та фігура, отримана після паралельного перенесення, рівні.

У прямокутній системі координат паралельне перенесення, яке переводить точку $M$ ($x;y$) у точку $M’$ ($x’;y’$), задається формулами

$$x^\prime=x+a$$

$$y^\prime=y+a$$

де $a$ і $b$ – деякі числа, одні й ті самі для всіх точок площини.

Приклад 3. При паралельному перенесенні образом точки $M$ ($8;6$) є точка $T$ ($3;-7$). Яка точка є образом точки $Q$ ($-1;-9$) при цьому паралельному перенесенні?

Розв’язання:

Запишемо формули, якими задано паралельне перенесення. Нам відомі координати точки $M$ і точки $T$, яка є образом $M$. Виведемо з них значення $a$ і $b$:

$a=x^\prime -x=3-(-8)=3+8=11$, $b=y^\prime -y=-7-6=-13 $

Знайшовши значення $a$ і $b$, запишемо формули, які задають паралельне перенесення: $x^\prime=x+11,\: y^\prime=-y-13 $.

І за допомогою цих формул знайдемо координати точки $Q’$, в яку перейде точка $Q’$ при даному паралельному перенесенні:

$x^\prime=-1+11=10,\: y^\prime=-9-13=-22$.

Отримали точку з координатами ($10;-22$).

Відповідь: $Q’$ ($10;-22$).

А тепер перевір себе, переходь до тесту.