Блок 4.7.3. Гомотетія. Подібність фігур

Перетворення фігури \(F\) на фігуру \(F_{1}\) називається перетво­ренням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в ту саму кількість разів. 

Або іншими словами: якщо довільні точки \(X\) і \(Y\) фігури \(F\) при пере­творенні подібності переходять у точки \(X_{1}\) і \(Y_{1}\)фігури \(F_{1}\), то \(X_{1} Y_{1} = k \cdot XY\), де \(k\) — те саме число для будь-яких точок \(X\) і \(Y\).

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Число \(k\) називається коефіцієнтом подібності. 

Якщо \(k=1\), то перетворення подібності є переміщенням.

Властивості перетворення подібності:

• Перетворення подібності переводять прямі у прямі; проме­ні — у промені; відрізки — у відрізки.
• Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності \(k = 1\).
• Перетворення подібності зберігає кути між променями.

Гомотетією з центром \(O\) і коефіцієнтом \(k \neq 0\) називається таке перетворення площини, при якому будь-яка точка \(M\) переходить у таку точку \(M^\prime\), що \(OM^\prime=k\cdot OM\).

Точка \(M^\prime\) називається образом точки \(M\), точка \(M\) – прообразом точки \(M^\prime\), число \(k\) – коефіцієнтом гомотетії, точка \(O\) – центром гомотетії. 

Якщо точка \(M\) у гомотетії переходить у точку \(M^\prime\) то записують \(M\rightarrow M^\prime\). Точки \(M\) і \(M^\prime\) називаються гомотетичними.

Аби гомотетія була визначена, повинен бути заданий центр гомотетії і коефіцієнт.

Це можна записати: гомотетія (\(O\); \(k\))

На малюнку з фігури \(F\) можна отримати фігуру \(F_{1}\) гомотетією (\(O\); \(2\)).

Якщо фігури розташовані на протилежних напрямках від центру гомотетії, то коефіцієнт від’ємний.

На наступному малюнку з фігури \(F\) можна отримати фігуру \(F_{1}\) гомотетією (\(O\); \(-2\)).

Центр гомотетії може розташовуватися і всередині фігури.

Трикутник \(A_{1} B_{1} C_{1}\) отриманий із трикутника \(ABC\) гомотетією (\(O\); \(\frac{1}{2}\))

Зверніть увагу! 

На відміну від гомотетії, геометричні перетворення (центральна симетрія, осьова симетрія, поворот, паралельне перенесення) є рухом, тому в них фігура відображається у фігуру, рівну даній.

Гомотетичні фігури подібні, але подібні фігури не завжди гомотетичні (в гомотетії важливе розташування фігур).

Гомотетію можна ще задати координатними формулами. Нехай гомотетія з коефіцієнтом \(k\) і центром у початку координат переводить точку \(M\) (\(x\); \(y\)) у точку \( M^\prime (x^\prime; y^\prime)\). За означенням гомотетії \(OM^\prime=k\cdot OM\). Ця рівність рівносильна таким двом рівностям: \(x^\prime=kx,\: y^\prime=ky\). Знаючи координати точки \(M\) і коефіцієнт гомотетії \(k\), можна знайти координати гомотетичної їй точки \(M^\prime\) за цими формулами.

Для гомотетичних фігур \(F\) і \(F_{1}\) діють формули відношення периметрів  ( \(\frac{P_{F_1}}{P_F}=k\) ) і площ ( \(\frac{S_{F_1}}{S_F}=k^2\) ) подібних фігур.

Приклад 1. Сторони двох правильних шестикутників відносяться, як \(3:4\). Як відносяться їх площі?

Розв’язання:

Оскільки правильні шестикутники подібні, то можна використовувати формулу про площі подібних многокутників. Отже, відношення площ шестикутників дорівнює \((\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}\)

Відповідь: \(9:16\).

Приклад 2. Площі двох подібних многокутників відносяться, як \(9:16\). Як відносяться периметри цих многокутників?

Розв’язання:

1) Нехай \(a_{1}\) і \(a_{2}\) – відповідні лінійні розміри многокутників. Тоді

\( (\frac{a_1}{a_2})^2=\frac{9}{16};\:(\frac{a_1}{a_2})^2=(\frac{3}{4})^2;\:\frac{a_1}{a_2}=3:4 \)

2) Оскільки периметри подібних многокутників, відносяться як відповідні сторони цих многокутників, то відношення периметрів многокутників також \(3:4\).

А тепер перевір себе, переходь до тесту.