Блок 4.8.1. Взаємне розміщення двох прямих у просторі
Стереометрія ( від грецьк. «стереос» – просторовий і «метрео» – вимірюю, тобто «вимірювання просторового») – це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі.
Основними фігурами в просторі є точка, пряма та площина.
Нагадаємо, що точки позначаються великими латинськими буквами, наприклад, точки \(A\), \(B\), \(C\)…; прямі позначаються малими латинськими буквами, наприклад, прямі \(a\), \(b\), \(c\)…, або двома великими буквами, наприклад, \(AB\), \(BC\), \(CD\)… Матеріальними моделями частини площини є, наприклад, поверхня стола, поверхня віконного скла, поверхня мармурової плити тощо. У геометрії площину бачать необмеженою, ідеально рівною і гладенькою.
Зображають площини у вигляді паралелограма або у вигляді довільної області.
Відношення «належати» розглядають не лише для точки та прямої – точка лежить на прямій, але й для точки і площини та прямої і площини – точка (пряма) лежить у площині.
Якщо точка \( A\) лежить у площині \(\alpha\), говорять, що площина \(\alpha\) проходить через точку \(A\), і записують: \(A\) \(\in\) \(\alpha\).
Якщо точка \( B\) не лежить у площині \(\alpha\), говорять, що площина \(\alpha\) не проходить через точку \(B\), і записують: \(B \notin \alpha\).
Якщо кожна точка прямої \( b\) лежить у площині \(\alpha\), говорять, що пряма \( b\) лежить у площині \(\alpha\), або площина \(\alpha\) проходить через пряму \( b\), і записують: \(b \subset \alpha\). Запис \(a\) ∉ \(\alpha\) означає, що пряма \( a\) не лежить у площині \(\alpha\).
Взаємне розміщення двох прямих
- Якщо дві прямі в просторі мають спільну точку, то вони перетинаються.
- Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.
- Дві прямі в просторі називаються мимобіжними, якщо вони не лежать в одній площині.
На рисунку прямі \(DD_{1}\) i \(CC_{1}\) – паралельні, прямі \(DD_{1}\) і \(AD\) – перетинаються в точці \(D\), прямі \(A_{1}B_{1}\) і \(DD_{1}\) – мимобіжні.
З означення паралельних прямих випливає, що через дві паралельні прямі можна провести площину і до того ж тільки одну.
Пам’ятайте, що у просторі справджуються всі властивості двох паралельних прямих, які вивчались в планіметрії:
- Дві прямі на площині або перетинаються, або паралельні.
- Дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.
- Два відрізка називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.
- Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині пряму, паралельну до даної, і тільки одну. Це твердження є основною властивістю паралельних прямих:
- Дві прямі, кожна з яких паралельна третій прямій, паралельні між собою.
- Якщо пряма перетинає одну з паралельних прямих, то вона перетинає і другу пряму.
Ознака паралельності прямих: якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.
Корисною є ознака мимобіжних прямих: якщо одна із двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій, то ці прямі мимобіжні.
На малюнку пряма \(a\) лежить у площині \(\alpha\), а пряма \(b\) перетинає цю площину в точці \(A\) такій, що \(A\) належить \(\alpha\). За ознакою мимобіжних прямих \(a\) і \(b\) мимобіжні.
Приклад 1. Прямі \(AB\) і \(CD\) паралельні. Чи можуть бути мимобіжними прямі \(AC\) і \(BD\)? А чи можуть вони перетинатися?
Розв’язання:
Якщо \(AB \parallel CD\), то прямі \(AB\) і \(CD\) лежать в одній площині, значить, і точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежать в одній площині. Отже, прямі \(AC\) і \(BD\) також лежать в одній площині, а значить, можуть перетинатися, але не можуть бути мимобіжними.
Приклад 2. Прямі \(AB\) і \(CD\) мимобіжні. Чи можуть бути паралельними прямі \(AC\) і \(BD\)? А чи можуть вони перетинатись?
Розв’язання:
Якщо б могло бути, що \(AC \parallel BD\) або \(AC\) перетинала \(BD\), то точки \(A\), \(B\), \(C\), лежали б в одній площині, а цього бути не може, тому що суперечить умові задачі. Отже, прямі \(AC\) i \(BD\) не можуть бути ні паралельними, ні перетинатись.
А тепер перевір себе, переходь до тесту.