Блок 4.8.2. Взаємне розміщення прямої і площини в просторі

Можливі такі випадки взаємного розміщення прямої і площини у просторі:

Ознака паралельності прямої і площини: якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямійу цій площині, то вона паралельна і самій площині.

На малюнку пряма \(a\) не належить площині \(\alpha\), \(b \subset \alpha\) і \(a \parallel b\). Тоді \(a \parallel \alpha\) (за ознакою паралельності прямої і площини).

Властивості прямої і площини, паралельних між собою:

• Якщо пряма паралельна площині, то в цій площині знайдеться пряма, паралельна даній. 

Зауважимо, що таких прямих у площині є безліч.

• Якщо пряма паралельна площині, то через будь-яку точку цієї площини можна провести пряму, паралельну даній, і до того ж тільки одну.
• Якщо одна з двох паралельних прямих паралельна даній площині, то друга пряма також паралельна даній площині або лежить у цій площині.

На малюнках: \(a \parallel b\) і \(a \parallel \alpha\). Тоді \(b \subset \alpha\) або \(b \parallel \alpha \).

Приклад 1. Доведіть, що якщо площина проходить через пряму, яка паралель­на другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину па­ралельна даній прямій.

Доведення:

Нехай пряма \(a \parallel \alpha \)(рис. ) і площина \(\beta\) проходить через \(a\), \(b\) — пряма пере­тину площин \(\alpha\) і \(\beta\) . Доведемо, що \(a \parallel b\). Прямі \(a\) i \(b\)лежать в одній площи­ні \(\beta\) і не перетинаються, бо в супротивному випадку пряма \(a\) перетинала б площину \(\alpha\), що неможливо, оскільки згідно з умовою \(a \parallel \alpha\). Отже, \(a \parallel b\).

Приклад 2. Площина \(\alpha\), яка паралельна основам \(AD\) i \(CB\) трапеції \(ABCD\), перетинає бічні сторони \(AB\) і \(CD\) відповідно в точках \(K\) і \(L\). Знайдіть \(BC\), якщо \(AD = 10\) см, \(KL = 8\) см і точка \(K\) – середина \(AB\).

Нехай \(ABCD\) – трапеція, \(AD \parallel BC\), \(AD \parallel \alpha \), \(BC \parallel \alpha \), \(AB \cap \alpha = K\), \(CD \cap \alpha = L\), \(K\) – середина \(AB\), \(AD = 10\), \(KL = 8\) см. Знайдемо \(BC\).

Так як \(BC \parallel \alpha\), то за наслідками ознаки паралельності прямої і площини через т. \(K\) можна провести пряму паралельну \(BC\).

Цією прямою є \(KL\), тобто \(KL \parallel BC\).

(Якщо припустити, що \(KL\) не паралельно \(BC\), то \(KL \cap BC = P\).

Оскільки, \(P \subset KL\), то \(P \notin \alpha\).

Тоді т. \(P\) є точкою перетину \(BC\) і \(\alpha\), що суперечить умові).

Так як \(K\) – середина \(AB\) і \(KL \parallel BC\), то \(KL\) – середня лінія трапеції, тоді

\(KL = \frac{AD+BC}{2}\);  \(8 = \frac{10+BC}{2}\); \(BC = 6\) (cм).

Відповідь: \(6\) см

Приклад 3. Площина \(\alpha\), паралельна стороні \(AB\) трикутника \(ABC\), перетинає сторону \(AC\) в точці \(A_{1}\), а сторону \(BC\) в точці \(B_{1}\). \(AC : A_{1}C = 3:2\). Знайти довжину сторони \(AB\), якщо \(A_{1}B_{1}=6\).

Розв’язання: 

Міркуючи аналогічно попередній задачі, можна довести, що \(AB \parallel A_{1}B_{1}\).

Тоді кут \(\angle CB_{1}A_{1} = \angle CBA\) (відповідні кути при паралельних прямих \(AB\) i \(A_{1}B_{1}\) та січній \(CB\)), \(\angle C\) – спільний кут для трикутника \(ACB\) і трикутника \(A_{1}CB_{1}\). Тому \(\triangle ACB \propto \triangle A_{1}CB_{1} \) (за двома кутами).

Тоді \(\frac{AC}{A_1C}=\frac{AB}{A_1B_1}\)

Отже, \(\frac{AB}{6}=\frac{3}{2};\:AB=9\)(см).

Відповідь: \(AB = 9\) см.

А тепер перевір себе, переходь до тесту.