Блок 4.8.3. Взаємне розміщення двох площин у просторі

Існує два випадки взаємного розміщення двох площин у просторі. Дві площини:

  •  перетинаються, якщо вони різні і мають спільну точку (аксіома \(С_{2}\));
  •  дві площини не мають спільної точки.

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільної точки або збігаються.

Позначення паралельності площин \(\alpha\) i \(\beta\): \(\alpha \parallel \beta\).

 

Ознака паралельності площин: якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини, відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

На малюнку \(a \subset \alpha\), \(b \subset \alpha\), \(a \cap \alpha = M\), \(a \parallel a_{1}\), \(b \parallel b_{1}\), \(b_{1} \cap \beta\). За ознакою паралельності площин матимемо, що \( \alpha \parallel \beta \).

 

Властивості паралельних площин

  • Якщо дві паралельні площини перетнути третьою, то прямі їхнього перетину паралельні

  • Паралельні площини, перетинаючи дві паралельні прямі, відтинають на них рівні відрізки

  • Дві площини, паралельні третій площині, паралельні між собою

 

Приклад 1. Точки \(A\), \(B\), \(C\) належать площині \(\alpha\), яка паралельна площині \(\beta\). Через ці точки провели паралельні прямі, які перетнули площину \(\beta\) в точках \(A_{1}\), \(B_{1}\), \(C_{1}\). Знайдіть периметр трикутника \(A_{1}B_{1}C_{1}\), якщо кут \(ABC = 900\), \(AB = 5\) см, \(BC = 12\) см.

Розв’язання:

\(AA_{1} \parallel BB_{1} \parallel CC_{1}\); \(\alpha \parallel \beta\). Отже, \(AA_{1} = BB_{1} = CC_{1}\). \(ABB_{1}A_{1}\), \(BB_{1}C_{1}C\), \(AA_{1}C_{1}C\) – паралелограми, отже \(AB = A_{1}B_{1}\); \(BC = B_{1}C_{1}\), \(AC = A_{1}C_{1}\) і трикутники \(ABC\) і  \(A_{1}B_{1}C_{1}\) рівні.

Розглянемо \(\triangle ABC\) ( \(\angle ABC = 90^{\circ}\). За теоремою Піфагора \(AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}\);  

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2};\:AC=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\)(см)

\(P_{\triangle A_1B_1C_1}= 5+12+13=30\) (cм).

Відповідь: \(P_{\triangle A_1B_1C_1}= 30\) см.

 

Приклад 2. Площини \(\alpha\) і \(\beta\) паралельні. Через точку \(K\), яка лежить між площинами, проведено прямі \(a\) і \(b\), які перетинають площину \(\alpha\) у точках \(A_{1}\) і \(B_{1}\), площину \(\beta\) – у точках \(A_{2}\) i \(B_{2}\). Знайти довжину відрізка \(A_{2}B_{2}\), якщо \(A_{1}B_{1} = 6\); \(KA_{1} = 8\); \(KA_{2} = 4\).

Розв’язання:

Проведемо через прямі \(A_{1}A_{2}\) і \(B_{1}B_{2}\), що визначають деяку площину. Ця площина перетинає площину \(\alpha\) по прямій \(A_{1}B_{1}\), а площину \(\beta\) – по прямій \(A_{2}B_{2}\).

За властивістю паралельних площин маємо \(A_{1}B_{1} \parallel A_{2}B_{2}\).

Кут \(B_{1}A_{1}A_{2} = \) куту \(A_{1}A_{2}B_{2}\) (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих \(A_{1}B_{1}\) i \(A_{2}B_{12}\) та січній \(A_{1}A_{2}\)).

Кут \(A_{1}B_{1}B_{2}\) = куту \(B_{1}B_{2}A_{2}\) (внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих \(A_{1}B_{1}\) і \(A_{2}B_{2}\) та січній \(B_{1}B_{2}\)). Тому \(\triangle KA_{1}B_{1} = \triangle KA_{2}B_{2}\) (за двома кутами).

\(\frac{KA_1}{KA_2}=\frac{A_1B_1}{A_2B_2};\frac{8}{4}=\frac{6}{A_2B_2};\:A_{2}B_{2}=3\)

Відповідь: \(A_{2}B_{2}=3\)

 

 

А тепер перевір себе, переходь до тесту.

Прокрутити вгору