Блок 4.9.1. Перпендикулярність прямої і площини

У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності:

• перпе­ндикулярність прямих,
• перпендикулярність прямої та площини,
• перпен­дикулярність площин.

Як і на площині:

дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перети­наються під прямим кутом.

Приклад 1. Дано зображення куба \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Укажіть ребра куба, які пер­пендикулярні до прямої \(AA_{1}\).

За означенням куба до ребра \(AA_{1}\) будуть перпендикулярні \(AD\), \(AB\), \(A_{1}B_{1}\), \(A_{1}D_{1}\).

Ознака перпендикулярності прямих у просторі

Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

На малюнку \(a \perp b\), \(a \subset \alpha\), \(b \subset \alpha\), \(a_{1} \parallel a\), \(a_{1} \parallel b\), \(a_{1} \subset \alpha_{1}\), \(b_{1} \subset \alpha_{1}\), \(a_{1}\) i \(b_{1}\) перетинаються. Тоді \(a_{1} \perp b_{1}\).

Приклад 2. \(SABC\) – тетраедр; \(\angle ABC = 90^{\circ}\); точки \(K\), \(L\), \(M\) – середини ребер \(SB\), \(SA\), \(SC\) відповідно. Знайти: \(\angle MKL\).

Відповідь: \(\angle MKL = 90^{\circ}\) (за теоремою про прямі, що перетинаються й паралельні двом перпендикулярним прямим і властивістю середньої лінії трикутника).

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину та перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

На малюнку пряма a перпендикулярна до площини \(\alpha\). Пишуть: \(a \perp \alpha\). З означення ви­пливає, що \(a \perp c\), \(a \perp b\).

Ознака перпендикулярності прямої та площини

Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині й перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

На малюнку маємо: \(a\) перетинається з \(b\), \(a \perp c\), \(a \perp c\), тоді \(a \perp \alpha\) (за ознакою).

Наприклад, інтуїтивно зрозуміло, що ребро \(AA_{1}\) прямокутного паралелепіпеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) перпендикулярне до площини \(ABC\). Чому? Пряма \(AA_{1}\) перпендикулярна до двох прямих \(AB\) і \(AD\) площини \(ABC\), що перетинаються. Тоді за ознакою перпендикулярності прямої та площини   \(AA_{1}\) перпендикулярна \(ABC\), а отже, і ребро \(AA_{1}\) також перпендикулярне до площини \(ABC\).

Властивості перпендикулярних прямих і площин

• Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й друга пряма перпендикулярна до цієї площини
• Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні

На малюнку маємо: \(a \parallel b\) i \(a \perp \alpha\), тоді \(b \perp \alpha\) (за властивістю).

Або: \(a \perp \alpha\), \(b \perp \alpha\). Тоді \(a \parallel b\).

А тепер перевір себе, переходь до тесту.