Блок 4.9.2. Перпендикулярність двох площин. Ортогональне проектування

Дві площини називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює \(90^\circ\).

Якщо площини \(\alpha\) i \(\beta\) перпендикулярні, то записують: \(\alpha \perp \beta\) . Або говорять, що площина \(\alpha\) перпендикулярна до площини \(\beta\).

 

Можна дати ще й таке означення:

Дві площини, що перетинаються, нази­ваються перпендикулярними, якщо тре­тя площина, проведена перпендикуляр­но до лінії перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих.

На малюнку  \(\alpha \perp \beta\), бо площини \(\alpha\) i \(\beta\) пере­тинаються по прямій \(c\), площина \(\gamma\), перпенди­кулярна до \(c\), перетинає \(a\) і \(b\) по прямих \(a\) і \(b\), які перпендикулярні.

Ознака перпендикулярності площин

Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їхнього перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини.

На малюнку дані площини \(\alpha \perp \beta\), \(\alpha \cap \beta = b\), пряма \(a \in \alpha\) i \(a \perp b\). Тоді \(\alpha \perp \beta\).

 

Зверніть увагу!

• Через точку поза площиною можна провести безліч площин, перпендикулярних до цієї площини (див. малюнок). (Але всі вони пройдуть через перпендикулярну до цієї площини пряму, яка проходить через дану точку.)

• Якщо площина перпендикулярна до даної площини, то це не означає, що вона перпендикулярна й до довільної прямої, паралельної цій площині.

Наприклад, \(\alpha \perp \beta\) і перетинаються по прямій \(b\), \(a \parallel b\), причому \(a\) не лежить у жодній із площин. Отже, пряма \(a\) водночас паралельна двом перпендикулярним площинам.

• Якщо площина й пряма, що не належить цій площині, перпендикулярні до однієї й ­тієї самої площини, то ці площина та пряма паралельні.

На малюнку: \(\alpha \perp \beta\); \(a \perp \alpha\); \(a \parallel \beta\). 

 

 

Ортогональним проектуванням називають таке проектування, при якому проектувальні прямі перпендикулярні до площини проекцій. 

Паралельну проекцію фігури, що утворюється при ортогональному проектуванні, називають ортогональною проекцією фігури.

   

На малюнках: 

• точка \(B\) – ортогональна проекція точки \(A\) на площину \(\alpha\), \(a\) – напрям проектування – проектувальна пряма
• трикутник \(A_{1}B_{1}C_{1}\) є ортогональною проекцією трикутника \(ABC\)

 

 

Властивість ортогонального проектування (про площу проекції):

Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі та косинуса кута між площиною многокутника та площиною проекції.

 

\(S_{\triangle A_{1}BC} = S_{\triangle ABC} \cdot \cos \gamma\)

 

де \(\triangle ABC\) – це заданий трикутник, \(\triangle A_{1}BC\) – його ортогональна проекція, \(AA_{1} \perp \alpha\), \(\alpha\) проходить через сторону трикутника \(ABC\).

 

 

Приклад 1. Якщо дві площини, перпендикулярні до третьої, перетинаються, то пряма їхнього перетину перпендикулярна до третьої площини.

Дано: \(\alpha \perp \gamma\); \(\beta \perp \gamma\); \(\alpha \cap \gamma = c\). Довести, що \(c \perp \gamma\).

Доведення:

У площині \(\alpha\) візьмемо довільну точку \(C\), що належить прямій \(c\). Проведемо : \(CA \perp OD\), \(OD\) – лінія перетину площин \(\alpha\) i \(\gamma\), через точку \(C\) проведемо \(CB \perp OK\) (\(OK\) – лінія перетину площин \(\beta\) i \(\gamma\).

 

Тоді \(CA \perp \gamma = c\) і \(CB \perp \gamma = c\) за властивістю прямої, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин і перпендикулярна до лінії їхнього перетину. Однак через точку поза площиною можна провести до площини тільки одну перпендикулярну пряму. Тоді відрізки \(CA\) і \(CB\) і пряма \(c\) збігаються. Отже, \(c \perp \gamma\).

 

 

Приклад 2. З точки \(A\) до центру квадрата \(FBQD\) проведено перпендикуляр. Діагоналі квадрата дорівнюють \(d\), відстань від точки \(A\) до сторони квадрата дорівнює \(a\). Знайти довжину перпендикуляра.

Розв’язання:

Нехай \(FBQD\) – квадрат. Оскільки точка \(A\) рівновіддалена від сто­рін квадрата, то основа перпендикуляра \(AO\) точка \(O\)( \(AO \perp (ABC)\) ) є центром кола, вписаного в квадрат \(FBCD\), тобто точка \(O\) – точка перетину діагоналей квадрата.

 

Проведемо \(OM \perp CD\), тоді \(AM \perp CD\), \(AM = a\), \(FC = BD = d\).

Із трикутника \(FCD\): \(FD=FCcos45^0=d\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{d\sqrt{2}}{2}\)

 

Тоді \(OM = \frac{1}{2}FD = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

 

Із трикутника \(AOM\):

\(AO=\sqrt{AM^2-OM^2}=\sqrt{a^2-(\frac{d\sqrt2}{4})^2}=\sqrt{a^2-\frac{d^2}{8}}\)

Відповідь: \(\sqrt{a^2-\frac{d^2}{8}}\).

 

 

Приклад 3. Ортогональною проекцією трикутника \(ABC\) на площину a є прямокутний трикутник \(A_{1}B_{1}C_{1}\) з катетами \(2\) см і \(3\) см (мал.). Знайти площу трикутника \(ABC\), якщо кут між площинами \(ABC\) і \(A_{1}B_{1}C_{1}\) дорівнює \(30^{\circ}\).

 

Розв’язання:

\(S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3\) \(cm^{2}\)

 

Оскільки \(S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}} = S_{\triangle ABC} \cdot \cos \gamma\),

де \(\gamma = 30^{\circ}\) – кут між площинами \(ABC\) i \(A_{1}B_{1}C_{1}\),

то \(S_{\triangle ABC} = \frac{3}{\cos 30^{\circ}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2 \sqrt{3}\) \(cm^{2}\)

 

Відповідь: \(2\sqrt{3}\) \(cm^{2}\)

 

 

А тепер перевір себе, переходь до тесту.