Блок 4.9.3. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри

Повторимо відповідні питання планіметрії (ліва колонка) та розглянемо паралельно відповідні питання курсу стереометрії (права колонка):

Висновки:

• рівні похилі мають рівні проекції;
• якщо проекції похилих рівні, то й самі похилі рівні;
• більша похила має більшу проекцію;
• з двох похилих більша та, в якої проекція більша.

Зображення на малюнку перпендикуляра, похилої та проекції:

\(A\) ∉ \(a\), \(B \in a\), \(AB\) – перпендикуляр із точки \(A\) до площини \(\alpha\), \(AB\) – похила; \(OB\) – проекція; точка \(B\) В – основа перпендикуляра; точка \(C\) – основа похилої.  

Властивості перпендикуляра, похилих і проекцій

Теорема (про три перпендикуляри)

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна й до похилої.

Нехай \(AB\) – перпендикуляр до площини \(\alpha\), \(AC\) – похила, \(BC\) – її проекція на площину \(\alpha\). Пряма \(c\) у площині \(\alpha\), яка проходить через основу похилої \(AC\), перпендикулярна до похилої \(AC\).

Вірною буде й обернена теорема:

Якщо пряма, проведена через основу похилої на площині, перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Приклад 1. Через вершину прямого кута \(C\) трикутника \(ABC\) проведено перпендикуляр \(CD\) до його площини. Побудуйте найкоротшу відстань від точки \(D\) до гіпотенузи \(AB\).

Розв’язання:

Найкоротша відстань – це перпендикуляр. Так як \(DC\) –  перпендикуляр до площини \(ABC\), найкоротшою відстанню буде перпендикуляр від точки \(D\) до прямої \(AB\). Отже, \(DE \perp AB\).

Приклад 2.  З вершини квадрата \(ABCD\) проведено перпендикуляр \(AK\) до площини квадрата. Знайти площу квадрата, якщо \(KD = 5\)см; \(KC = 13\) см.

Розв’язання:

1)  \(AK \perp ABC\); \(KD\) – похила; \(AD\) – її проекція. Оскільки \(AD \perp DC\), то за теоремою про три перпендикуляри маємо \(KD \perp DC\).

2) У трикутнику \(KDC\) ( \(\angle D = 90^{\circ}\) ): \(DC=\sqrt{KC^2-KD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12\) (см).

3) Тоді площа квадрата \(S = 122 = 144\) (\(cm^{2}\)).

Відповідь: \(144\) (\(cm^{2}\)).

Приклад 3. З точки \(A\) до площини \(\alpha\) проведено дві похилі \(AB\) i \(AC\) так, що \(AB : AC = 5 : 6\). Довжини проекцій похилих дорівнюють \(4\) см і \(3 \sqrt{3}\) см. Знайдіть довжину перпендикуляра, проведеного з точки \(A\) до площини.

Розв’язання:

Нехай із точки \(A\) до площини \(\alpha\) проведено дві похилі \(AB\) i \(AC\) так, що \(AB : AC = 5 : 6\). Проведемо \(AO\) перпендикулярно площині \(\alpha\), тоді \(OB\) i \(OC\) – проекції похилих. Враховуючи те, що більша похила має більшу проекцію, маємо: \(OB = 4\) см, \(OC = 3 \sqrt{3}\) см.

Позначимо \(x\) – коефіцієнт пропорційності. Тоді \(AB = 5x\) см, \(AC = 6x\) см. Виразимо з трикутників \(AOB\) і \(AOC\) довжину \(AO\).

З \(\triangle AOB\) : \(AO^{2} = AB^{2} – OB^{2} = (5x)^{2} – 4^{2} = 25x^{2}-16\) 

З \(\triangle AOC\) : \(AO^{2} = AC^{2} – OC^{2} = (6x)^{2} – (3 \sqrt{3})^{2} = 36x^{2}-27\) 

Прирівняємо отримані значення : 

\(25x^{2}-16 = 36x^{2}-27\);

\(36x^{2} – 25x^{2} = 27 – 16\);

\(x^{2} = 1\)

\(x = 1\) \(x > 0\).

Відповідь: \(3\) см.