Блок 5.1.1. Функція y=sinx, її властивості та графік

Означення

Пригадаємо, що будь-яка точка координатної площини має дві координати – абсцису і ординату:

Розглянемо одиничне тригонометричне коло і довільний гострий кут повороту $\alpha$ , який ми отримуємо в результаті повороту точки $P_0\left(1;\ 0\right)$ навколо центра кола на кут $\alpha$ радіан.

Отже, маємо залежність між дійсним числом $\alpha$ і абсцисою та ординатою відповідної точки одиничного кола, на яку відображається початкова точка $P_0\left(1;\ 0\right)$ під час повороту навколо центра кола на кут $\alpha$ рад.

Ці залежності дістали назву тригонометричних функцій числа, або тригонометричних функцій числового аргументу.

Синусом числа $\alpha$ називається ордината точки $P_{\alpha}$ одиничного кола, в яку переходить початкова точка $P_0\left(1;0\right)$ під час повороту навколо центра кола на кут $\alpha$ рад, і позначається $\sin\alpha$.

Косинусом числа $\alpha$ називається абсциса точки $P_{\alpha}$ одиничного кола, в яку переходить початкова точка $P_0\left(1;0\right)$ під час повороту навколо центра кола на кут $\alpha$ рад, і позначається $\cos\alpha$.

Тангенсом числа $\alpha$ називається відношення $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, а котангенсом числа $\alpha$ відношення $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, і позначаються вони відповідно $tg\alpha$ і $ctg\alpha$.

Властивості функції $y=\sin x$

Область визначення – множина R всіх дійсних чисел.
Множина значень – відрізок [−1; 1].
Функція $y=\sin x$ періодична з періодом $T=2\pi$.
Функція $y=\sin x$ непарна.
Функція $y=\sin x$ приймає:

значення, яке дорівнює 0, при $x=\pi n,\ n\in Z$;
найбільше значення, яке дорівнює 1, при $x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z$ ;
найменше значення, яке дорівнює −1, при $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z$ ;
додатні значення на інтервалі $\left(0;\ \pi\right)$ і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на $2\pi n,\ n\in Z$;
від’ємні значення на інтервалі $\left(\pi;\ 2\pi\right)$ і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на $2\pi n,\ n\in Z$;

Функція $y=\sin x$

– зростає на відрізку [−$\frac{\pi}{2}$ ;$\frac{\pi}{2}$ ] і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на $2\pi n,\ n\in Z$;

– спадає на відрізку [$\frac{\pi}{2}$ ;$\frac{3\pi}{2}$] і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на $2\pi n,\ n\in Z$.

Графік функції $y=\sin x$

Приклад 1. Використовуючи властивості функції $y=\sin x$, порівняйте числа:

$$\sin\frac{13\pi}{7\ }i\ \sin\frac{11\pi}{7}$$

З властивості функції (зростає на [−$\frac{\pi}{2}$ ;$\frac{\pi}{2}$ ]) і того, що значення дробу $\frac{13}{7\ }>\frac{11}{7}$, робимо висновок, що $\sin\frac{13\pi}{7\ }>\sin\frac{11\pi}{7}$

Приклад 2. Розташуйте числа в порядку зростання $\sin20^{\circ},\ \sin85^{\circ},\ \sin30^{\circ},\ $.

Для того, щоб розмістити задані числа в порядку їх зростання, з’ясуємо, які з них додатні, а які – від’ємні, а потім порівняємо між собою, користуючись відомими проміжками зростання і спадання функції sinx.

Відповідь: $\sin20^{\circ},\ \sin30^{\circ},\ \sin85^{\circ},\ $.

А тепер перевір себе. Переходь до тесту.