Блок 5.1.1. Функція y=sinx, її властивості та графік

Означення

Пригадаємо, що будь-яка точка координатної площини має дві координати – абсцису  і ординату:

 

 

Розглянемо одиничне тригонометричне коло і довільний гострий кут повороту \(\alpha\) , який ми отримуємо в результаті повороту точки  \(P_0\left(1;\ 0\right)\) навколо центра кола  на кут \(\alpha\) радіан.

 

 

Отже, маємо залежність між дійсним числом \(\alpha\) і абсцисою та ординатою відповідної точки одиничного кола, на яку відображається початкова точка \(P_0\left(1;\ 0\right)\) під час повороту навколо центра кола  на кут \(\alpha\) рад.

 

 

Ці залежності дістали назву тригонометричних  функцій  числа, або тригонометричних функцій  числового аргументу.  

 

 

Синусом числа \(\alpha\)  називається ордината  точки \(P_{\alpha}\) одиничного кола, в яку переходить початкова точка \(P_0\left(1;0\right)\) під час повороту навколо центра кола  на кут  \(\alpha\) рад, і  позначається  \(\sin\alpha\).

 

 

Косинусом числа \(\alpha\) називається абсциса точки \(P_{\alpha}\) одиничного  кола, в  яку  переходить  початкова  точка \(P_0\left(1;0\right)\) під  час  повороту  навколо  центра  кола  на кут \(\alpha\) рад, і  позначається  \(\cos\alpha\).

 

 

Тангенсом числа \(\alpha\)  називається відношення  \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), а  котангенсом числа \(\alpha\)  відношення   \(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\),  і позначаються вони відповідно \(tg\alpha\) і  \(ctg\alpha\).

 

 

Властивості функції  \(y=\sin x\)

 

  1. Область визначення – множина R всіх дійсних чисел.
  2. Множина значень – відрізок [−1; 1].
  3. Функція \(y=\sin x\) періодична з періодом \(T=2\pi\). 
  4. Функція \(y=\sin x\) непарна.
  5. Функція \(y=\sin x\) приймає:
  • значення, яке дорівнює 0, при \(x=\pi n,\ n\in Z\); 
  • найбільше значення, яке дорівнює 1, при \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z\) ; 
  • найменше значення, яке дорівнює −1, при \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z\) ; 
  • додатні значення на інтервалі \(\left(0;\ \pi\right)\) і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на \(2\pi n,\ n\in Z\);
  • від’ємні значення на інтервалі \(\left(\pi;\ 2\pi\right)\) і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на  \(2\pi n,\ n\in Z\);
  1. Функція \(y=\sin x\)

 

– зростає на відрізку  [−\(\frac{\pi}{2}\) ;\(\frac{\pi}{2}\) ]  і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на \(2\pi n,\ n\in Z\);

 

– спадає на відрізку [\(\frac{\pi}{2}\) ;\(\frac{3\pi}{2}\)] і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на \(2\pi n,\ n\in Z\).

 

 

Графік функції \(y=\sin x\)

 

 

Приклад 1. Використовуючи властивості функції  \(y=\sin x\), порівняйте числа:

 

 $$\sin\frac{13\pi}{7\ }i\ \sin\frac{11\pi}{7}$$

 

З властивості функції (зростає на  [−\(\frac{\pi}{2}\) ;\(\frac{\pi}{2}\) ]) і того, що значення дробу \(\frac{13}{7\ }>\frac{11}{7}\), робимо висновок, що \(\sin\frac{13\pi}{7\ }>\sin\frac{11\pi}{7}\)

 

 

Приклад 2. Розташуйте числа в порядку зростання \(\sin20^{\circ},\ \sin85^{\circ},\ \sin30^{\circ},\ \).

 

Для того, щоб розмістити задані числа в порядку їх зростання, з’ясуємо, які з них додатні, а які – від’ємні, а потім порівняємо між собою, користуючись відомими проміжками зростання і спадання функції sinx.

 

Відповідь: \(\sin20^{\circ},\ \sin30^{\circ},\ \sin85^{\circ},\ \).

 

 

А тепер перевір себе. Переходь до тесту.

Прокрутити вгору