Блок 7.1.1. Лінійні рівняння з параметрами

Рівняння з параметром – це таке рівняння, до запису якого крім змінної та числових коефіцієнтів входять буквені коефіцієнти, які є величинами, значення яких не вказані конкретно, але вони вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині.  

 

Наприклад, рівняння \(3x + a= 0\) – рівняння зі змінною \(x\) та параметром \(a\). 

 

Що означає «розв’язати  задачу з параметром»?

 

Як починати вирішувати такі завдання? І що означає «розв’язати параметричну задачу»? Перш за все, треба зробити те, що робиться при розв’язуванні  будь-якого рівняння або нерівності: звести задане рівняння (нерівність) до простішого вигляду, наприклад, розкласти раціональний вираз на множники, розкласти тригонометричний многочлен на множники, позбутися  модулів, логарифмів, і т. д. Вирішуючи такі завдання потрібно безліч разів звертатися до його текстової частини з метою виконання сформульованого там умови.

 

Простіше кажучи, розв’язати  завдання з параметром – означає вказати, при яких значеннях параметрів існують розв’язки і які вони.

 

 

Лінійне рівняння у загальному вигляді задається наступною формулою: \(ax = b\), де \(a\) та \(b\) – дійсні числа, \(x\) – змінна.

 

В залежності від значень коефіцієнтів \(a\) та \(b\) змінюється кількість коренів рівняння.

 

 1.Якщо \(a=0\) і \(b=0\), то рівняння набуває вигляд \(0\cdot x=0\) і має безліч коренів.

 2. Якщо \(a\neq0\) і \(b=0\), то рівняння набуває вигляд \(a\cdot x=0\) і має єдиний корінь: \(x=0\).

 3. Якщо \(a=0\) та \(b\neq0\), рівняння набуває вигляд \(0\cdot x=b\) і розв’язку не має.

 4. Якщо \(a\neq0\) та \(b\neq0\), то рівняння має єдиний розв’язок: \(x=\frac{a}{b}\).

 

 

Приклад 1. Розв’язати рівняння \(a\cdot x=1\).

Розв’язання

 

Дане рівняння лінійне. Коефіцієнт біля змінної може бути довільним числом.

Якщо \(a\ne0\), то \(x=\frac{1}{a}\).

 

Якщо \(a = 0\), то \(0\cdot x=1\), \(0\ne1\), отже рівняння розв’язку немає.

 

 

Приклад 2. Вказати значення параметра \(a\), при яких рівняння \((5 -a)x = a+3\) має корені.

 

Розв’язання

Кількість коренів рівняння залежить від множника перед змінною. Якщо він не дорівнює 0 – то рівняння має корені.  

 

Якщо \(a\ne5\), то \(x=\frac{a+3}{5-a}\).

 

Якщо \(a = 5\), то рівняння коренів немає.

 

Відповідь: \(a\ne5\).

 

 

Приклад 3. Вказати значення параметра \(a\), при яких рівняння \(3x – 4 = ax + a\) не має коренів.

 

Розв’язання

Об’єднаємо доданки зі змінною в одну частину рівняння, без змінної – в іншу.

 

 

\(3x-ax=a+4\); 

 

\(\left(3-a\right)x=a+4\);

 

Якщо \(a = 3\), то \(0x = 7\) \(\Rightarrow\) рівняння коренів немає.

 

Відповідь: \(a = 3\).

 

 

Приклад 4. Розв’язати рівняння \(ax-2x=a^2-4\).

 

Розв’язання 

 

Виконаємо перетворення в лівій і правій частині рівняння:

 

\(\left(a-2\right)x=\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)

 

Якщо \(a\ne2\), то \(x=\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{a-2}\); \(x=a+2\);

 

Якщо \(a = 2\), то \(0x = 0\); \(x\) – будь-яке число.

 

Вiдповiдь: якщо \(a\ne2\), то \(x=a+2\); якщо \(a = 2\), то \(x\) – будь-яке число.

 

 

Приклад 5. При якому значенні параметра \(a\) рівняння \(3ax = 42\) має корінь, що дорівнює числу 7?

 

Розв’язання

 

Якщо корінь рівняння дорівнює 7, тобто \(x= 7\), то \(3a\cdot7=42\), \(21a=42\), звідки \(a = 2\).

 

Відповідь: \(a = 2\).

 

 

Приклад 6. При якому значенні \(b\) рівняння \(7x+2=b-3\) і \(4-5x=2b+1\) мають спільний корінь?

 

Розв’язання

 

Знайдемо корінь кожного з даних лінійних рівнянь: 

 

\(7x+2=b-3\), \(х=\frac{b-5}{7}\); 

 

\(4-5x=2b+1\), \(х=\frac{2b-3}{-5}\). 

 

Оскільки корінь повинен бути спільним, то \(\frac{b-5}{7}=\frac{2b-3}{-5}\); \(-5\left(b-5\right)=7\left(2b-3\right)\); \(b=\frac{46}{19}\).

 

Відповідь: \(b=\frac{46}{19}\).

 

 

 

 

 

А тепер перевір себе. Переходь до тесту!