Блок 5.1.2. Функція y=cosx, її властивості та графік

Нагадаємо, що тригонометрична функція числового аргументу – це  залежність між дійсним числом \(\alpha\)  і абсцисою та ординатою відповідної точки одиничного кола, на яку відображується початкова точка \(P_0\left(1;0\right)\) під час повороту навколо центра кола  на кут \(\alpha\) рад.

Косинусом числа \(\alpha\) називається абсциса точки \(P_{\alpha}\)  одиничного  кола, в  яку  переходить  початкова  точка \(P_0\left(1;0\right)\)  під  час  повороту  навколо  центра  кола  на кут \(\alpha\) рад, і  позначається  \(\cos\alpha\). 

Властивості функції \(y = cosx\)

  1. Область визначення – множина R всіх дійсних чисел.
  2. Множина значень – відрізок [−1;1].
  3. Функція \(y = cosx\) періодична з періодом \(T=2\pi\)
  4. Функція \(y = cosx\) – парна.
  5. Функція \(y = cosx\) приймає:

   – значення, яке дорівнює 0, при \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z\); 

   – найбільше значення, яке дорівнює 1, при  \(x=2\pi n,\ n\in Z\); 

   – найменше значення, яке дорівнює −1, при   \(x=\pi +2\pi n,\ n\in Z\);  

   – додатні значення на інтервалі \(\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) і на інтервалах, одержаних зсувами цього  інтервалу на \(2\pi n,\ n\in Z\);

   – від’ємні значення на інтервалі \(\left(\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right)\) і на  інтервалах, одержаних зсувами цього  інтервалу на  \(2\pi n,\ n\in Z\).

  1. Функція \(y = cosx\)

   – зростає на відрізку\(\left[\pi;\ 2\pi\right]\) і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на \(2\pi n,\ n\in  Z\);

   – спадає на відрізку \(\left[0;\ \pi\right]\)  і на інтервалах, одержаних зсувами цього інтервалу на \(2\pi n,\ n\in Z\).

 

Графік функції \(y = cosx\)

Приклад 1. Знайти найбільше та найменше значення функції \(y = cosx\) на відрізку \(\left[\pi;\frac{7\pi}{4}\right]\).

Розв’язання

Побудуємо графік функції та розглянемо наш відрізок \(\left[\pi;\frac{7\pi}{4}\right]\). На графіку видно, що найбільші та найменші значення досягаються на кінцях відрізка: у точках \(\pi\) і \(\frac{7\pi}{4}\) відповідно.

Відповідь: \(\cos\pi=-1\) – найменше значення , \(\cos\frac{7\pi}{4}\approx0,7\) – найбільше значення.

 

 

Приклад 2. Чи належить графіку \(y = cosx\) точка:  \(A\left(-\frac{\pi}{2};-1\right)\)?

Розв’язання

Підставляємо координати точки А у рівняння функції:

\(A\left(-\frac{\pi}{2};-1\right);\ -1=\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right);\ -1=0\ \) неправильно, точка А не належить графіку;

 

 

А тепер перевір себе. Переходь до тесту.

Прокрутити вгору