Блок 5.1.3. Функції y= tgx і y= ctgx. Їхні властивості та графіки

Означення

Відношення синуса числа \(x\) до косинуса того ж числа називають тангенсом числа \(x\) і позначають \(tgx\).

Відношення косинуса числа \(x\) до синуса того ж числа називають котангенсом числа \(x\) і позначають \(ctgx\).

Отримаємо, що \(tgx=\frac{\sin x}{\cos x}\); \(ctgx=\frac{\cos x}{\sin x}\).

Властивості функції \(y=tgx\)

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел
2. Множина значень – множина R всіх дійсних чисел
3. Функція \(y=tgx\) періодична з періодом \(\pi\)
4. Функція \(y=tgx\) непарна
5. Функція \(y=tgx\) приймає:

– значення 0, при \(x=\pi n,\ n\in Z\);

– додатні значення на інтервалах \(\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in Z;\) 

– від’ємні значення на інтервалах \(\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n\right),\ n\in Z.\)

6. Функція \(y=tgx\) x зростає на інтервалах \(\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in Z.\)

Графік функції \(y=tgx\)

Властивості функції \(y= ctgx\)

1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел \(x\ne\pi n,\ n\in Z\)
2. Множина значень – множина R всіх дійсних чисел
3. Функція \(y= ctgx\) періодична з періодом \(\pi\)
4. Функція \(y=ctgx\) непарна
5. Функція \(y=ctgx\) приймає:

– значення 0, при \(x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z\);

– додатні значення на інтервалах \(\left(\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\ n\in Z\);

– від’ємні значення на інтервалах \(\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n\right),\ n\in Z.\)

6. Функція \(y=ctgx\)  спадає на інтервалах \(\left(\pi n;\pi+\pi n\right),\ n\in Z\).

Графік функції \(y=ctgx\)

Приклад 1. Використовуючи властивості функції \(y=tgx\), порівняйте чис­ла:

а) \(tg\left(-2,6\pi\right)\ i\ tg\left(-2,61\pi\right)\); 

б) \(tg2,7\pi\ i\ \ tg2,75\pi\).

Для розв’язання врахуємо, що функція \(y=tgx\) є спадною на всій області визначення.

Відповідь: а)  \(tg\left(-2,6\pi\right)> tg\left(-2,61\pi\right)\); б) \(tg2,7\pi\ < tg2,75\pi\).

А тепер перевір себе. Переходь до тесту.